Spazi fisici ed eterici

20.05.2021

GEORGE ADAMS M.A. (Cantab.)
RUDOLF STEINER PRESS, LONDON

Prima edizione, Rudolf Steiner Press, Londra 1965 Ristampato nel 1978 Le citazioni di Rudolf Steiner sono stampate con il permesso di Rudolf Steiner

Nachlassverwaltung, Dornach © Rudolf Steiner Press, Londra, 1965 ISBN 0 85440 328 0 Prodotto e stampato in Gran Bretagna da PRT Offset Limited, 2 Brandon Road, London N7


Contenuti

Prefazione

I Geometria Antica e Moderna

II Spazio etereo e le sue forze

III Polarità rispetto alla Sfera

IV Forze e sostanze fisiche ed eteree

Note e riferimenti


Prefazione

Pensaci: come il punto diventa una sfera e tuttavia rimane se stesso. Hai capito come la sfera infinita possa essere solo un punto, poi torna di nuovo, perché allora l'Infinito lo farà risplendi per te nel Finito.

* Il tedesco originale: Sinne nach: wie der Punkt zur Sphare wird und doch er selbst bleibt. Hast du erfasst, wie die unendliche Sphare doch nur Punkt ist, dann komme wieder, denn dann wird dir Unendliches in Endliches scheinen.

Rudolf Steiner


George Adams sperava da tempo di ripubblicare il suo saggio del 1933, apparso (in tedesco) su Natura y pubblicato dal Goetheanum, Svizzera, e su Anthroposophy, rivista della Anthroposophical Society, Londra e New York. Questo saggio propone una prima affermazione di una teoria delle forze nella natura vivente basata sulla concezione matematica dello spazio e della morfologia derivata dalla moderna geometria proiettiva. Tuttavia, fu solo molto poco prima della sua morte, avvenuta il 30 marzo 1963, che iniziammo a preparare la nuova edizione tedesca. George Adams intendeva includere illustrazioni e annotazioni e scrivere una prefazione sostanziale, riferendosi non solo al suo ulteriore lavoro, ma anche al lavoro di altri - in particolare quello del professor Louis Locher-Ernst della Svizzera - in cui avrebbe impostato questo lavorare al posto che gli spetta nella storia del pensiero e dell'impegno scientifico.
Non ho provato a scrivere una prefazione come solo lui, con la sua profonda comprensione dello spirito scientifico dei tempi moderni, avrebbe fatto; Ho semplicemente apportato piccole revisioni al testo, in quanto conoscevo le sue intenzioni, e ho aggiunto illustrazioni e annotazioni. Von dem aetherischen Raume è apparso nella sua nuova forma nel 1964, pubblicato dal Verlag Freies Geistesleben, Stoccarda; il presente volume, in lingua inglese, è uniforme con esso.
Facendo ricerche in chimica fisica a Cambridge al tempo dello scoppio della prima guerra mondiale, George Adams vide che la scienza fisica moderna e la teoria matematica, avendo scosso le basi del materialismo del diciannovesimo secolo, erano nondimeno aggrappate a concetti analitici e atomistici e perseguendo percorso sempre più astruso e lontano dai regni dell'esperienza e della vita umana. Nella sua ricerca di un approccio meno unilaterale e più universale, è stato portato a studiare un flusso di pensiero matematico esistente fianco a fianco con la scuola analitica e simbolica di Riemann, a cui Einstein e i suoi seguaci si sono rivolti principalmente, vale a dire, la moderna proiettiva, o come talvolta viene chiamata geometria sintetica e l'algebra superiore ad essa correlata.
Con la creazione di questo metodo in geometria si collegano nomi come quelli dei francesi Poncelet (amico di Descartes e maestro di Blaise Pascal) e Chasles; Felix Klein e von Staudt in Germania; il geometra svizzero Jacob Steiner; Cayley, Sylvester e Clifford in Inghilterra e molti altri grandi matematici. George Adams vide che le idee di questo regno della matematica, giunto al suo apice nel secolo scorso, avevano avuto una notevole influenza sul pensiero filosofico rappresentato soprattutto dal professor Whitehead, ma che, a causa del modo astratto in cui era stato formulato e la sua apparente mancanza di punti di applicazione alla fisica newtoniana, aveva ricevuto poca o nessuna attenzione dai fisici. Ho era convinto che con questo percorso si sarebbero aperte nuove vie di pensiero per ampliare e completare l'approccio unilaterale analitico all'universo e alle forme di vita al suo interno.

Fondamentale per questa convinzione fu il suo riconoscimento di un'altra scuola moderna di pensiero e filosofia spirituale, vale a dire quella di Rudolf Steiner. In George Adams queste due strade univano; ha trascorso la sua vita al servizio di entrambi. Confermato da Rudolf Steiner nella consapevolezza che la qualità del pensiero prevalente nella nuova geometria è in realtà indispensabile sia allo scienziato nella sua ricerca della realtà-mondo sia all'individuo in un percorso di sviluppo spirituale, era compito della sua vita fare questa scuola di matematica sempre più accessibile e per svilupparla ulteriormente, che sia a disposizione, nella ricerca scientifica e nell'educazione, di coloro il cui impulso è di sciogliere i veli della teoria e dell'incredulità creati da un lato dal simbolismo della scienza odierna e dall'altro della religione ortodossa. Il carattere metamorfico e la meravigliosa qualità della sintesi organica della moderna geometria proiettiva si riflettono nella filosofia dell'attività spirituale di Rudolf Steiner, per cui, attraverso l'attività del pensiero puro, l'uomo può raggiungere lo spirituale nell'universo e in se stesso. George Adams ha voluto citare nella sua prefazione le parole che ho posto all'inizio di questa prefazione. Sono vecchie parole date a un allievo da Rudolf Steiner nel 1903 e finora inedite. Riguardo a queste parole, George Adams scrisse, in una lettera ad un amico nel febbraio 1963: "L'intero campo di cui tratta il mio articolo è in realtà uno di quei luoghi in cui la scienza exoterica del nostro tempo arriva con forza sulla soglia delle verità occulte eterne e chiede di essere completata, di essere diretta e confermata dalla scienza dell'iniziazione spirituale. La matematica formale usata nell'idea di spazio etereo o negativo - il professor Locher a volte lo chiama spazio polare-euclideo - è nota da tempo ai matematici puri, ma a parte il loro interesse per la sua bella forma, non le hanno attribuito ulteriore importanza. Il suo significato, tuttavia, non risiede nella sua mera forma, ma nel fatto che la sua disciplina, creata dai matematici del diciannovesimo secolo, dà un'idea di una concezione del tutto nuova dello spazio che corrisponde esattamente a ciò che è sempre stato descritto dagli occultisti come il segreto dell'aspetto spaziale dell'eterico - della vita. "Fu in particolare compito di Rudolf Steiner, in questo come in molti altri campi, rendere accessibili alla moderna mente scientificamente incline le antiche verità dell'occultismo, così cruciali per la futura cultura dell'umanità, e dare ai suoi seguaci le indicazioni necessarie verso l'ulteriore sviluppo del compito scientifico. È in questo senso che il mio articolo su Natura è stato scritto, in primo luogo pensando ai lettori che hanno familiarità con l'insegnamento di Rudolf Steiner ".

Olive Whicher
Goethean Science Foundation, Clent,
Stourbridge, Worcestershire.
Luglio 1964


1. Geometria antica e modernaFu spesso sottolineato da Rudolf Steiner quanto sarebbe importante che le scienze oggi così specializzate si compenetrassero in un modo più vivo. La classificazione consueta nelle nostre università subirà per alcuni aspetti cambiamenti di vasta portata. "L'attuale raggruppamento delle scienze", ha detto il dottor Steiner, "è in effetti inadeguato per il raggiungimento di una concezione del mondo reale". Ad esempio, ha continuato a dire in un'occasione, sarebbe necessario disporre di medici qualificati, esperti in matematica superiore. Perché c'erano scoperte fondamentali riguardanti le metamorfosi dell'organismo umano, che sarebbero ottenibili solo da tale combinazione.
Questa interazione implicherà, ovviamente, cambiamenti di spirito nelle diverse scienze stesse. Un mondo di pensiero così astruso e formale come sembra essere la matematica moderna, apparentemente non avrà molto significato per coloro che hanno principalmente a che fare con la vita. In effetti, i diversi rami della conoscenza si libereranno dall'arida specializzazione solo nella misura in cui sono permeati, molto più di quanto non avvenga negli elaborati sistemi intellettuali di oggi, con un senso immediato della realtà. Questo contatto vivente sarà stimolato soprattutto dalla scienza spirituale antroposofica. Solo l'intelletto lo trova a malapena.
In questo saggio spero di confermare quanto qui è stato detto, per un particolare dominio della conoscenza, che da alcuni punti di vista è fondamentale. Mi riferisco alla moderna scuola di Geometria (Geometria Sintetica o Proiettiva), sul cui significato ha ripetutamente richiamato l'attenzione il grande maestro di Scienza Spirituale.
Potrebbero seguire risultati di vasta portata se alcuni biologi e medici entrassero a fondo nelle forme-pensiero di questa Geometria.
Ci sono questioni importanti nell'aria - questioni scientifiche che furono segnalate anche da Rudolf Steiner - che forse potranno essere risolte solo su questa base. Sfortunatamente, la geometria moderna, come la maggior parte della matematica contemporanea, è di regola proposta in una forma altamente astratta, e quindi molti, anche studiosi matematicamente dotati, non trovano mai la loro strada nel cuore della questione, dove il significato di questa geometria per i loro compiti speciali sarebbero apparsi su di loro. Sono scoraggiati dalla forma troppo astratta con cui incontrano all'inizio.
La Geometria Moderna parte da ben altri punti di vista rispetto al familiare "Euclide" delle scuole. Cercherò di spiegarlo qui, non nelle solite forme accademiche, ma fin dall'inizio nella luce più viva in cui appare con l'aiuto dell'Antroposofia. Ciò renderà molte cose intelligibili al pensiero e al sentimento umano, che, se presentati nella consueta forma astratta, dopo tutto farebbero appello solo agli specialisti. Che sia giustificato dal contenuto reale della nuova Geometria metterla nel contesto che verrà qui mostrato - questo è un punto che ho ampiamente discusso e esposto in altri scritti. (1)


La geometria in ultima istanza deve sempre avere a che fare con i grandi insegnamenti della Saggezza dell'umanità. Con il suo aiuto sperimentiamo come lo spazio è formato dalla Luce Divina del Mondo. Attraverso il modo meraviglioso in cui la struttura umana è in bilico nello spazio sia interiormente che esternamente - attraverso la presenza dello spirito cosciente in questa cornice - noi esseri umani abbiamo la facoltà di riprodurre questa creazione divina alla luce del pensiero. In Geometry, abbiamo un godimento interiore della creazione dello spazio. Le sue verità non ci vengono comunicate empiricamente, come lo erano obbligatoriamente dai dati dei sensi esterni; li apprendiamo da un'intuizione interiore. La geometria è, quindi, un primo passo sulla via della conoscenza spirituale. Proprio sotto questo aspetto, però, la Geometria del nostro tempo si trova nella posizione opposta rispetto a quella dell'antichità classica. La Geometria di Euclide e dei Greci era come un'ultima e lontana eco degli antichi Misteri, quelli soprattutto dell'epoca egizia, ebraica e caldea. C'era stata una delle lezioni finali dell '"antica Saggezza", percepire come gli Elohim - gli "Spiriti della Forma" - avevano collocato l'essere umano nel suo corpo fisico nello spazio cosmico, in quello spazio tridimensionale che si esprime così meravigliosamente nella struttura principale dello scheletro umano e che in Massoneria diventa l'architettura della tomba, del monumento sacro, della Chiesa o del Tempio. (2) Questa fase architettonica, matematica e massonica, che era stata davvero come un capitolo conclusivo dei Misteri precristiani, fu per l'epoca greco-latina tradotta nelle forme più astratte della dialettica e praticata come mezzo di formazione per il mente. Questo è il vero significato della Geometria di Euclide, per quanto riguarda la sua fonte e il suo contenuto da un lato e il suo metodo scolastico dall'altro. È l'architettura dello spazio - lo spazio nella sua forma definitiva e più rigida, terrena - che sperimentiamo soprattutto in questa Geometria. La geometria moderna si trova in una posizione diversa, sia nella forma che nel contenuto. Ha avuto origine per la maggior parte nel diciannovesimo secolo, in un momento in cui la grande maggioranza degli uomini ignorava l'esistenza stessa di una conoscenza spirituale superiore o, se ci pensavano, dubitava della sua possibilità per l'uomo. Eppure la nuova Geometria è legata ai Misteri, a malapena meno intimamente della scuola antica. Perché sorge all'alba di una nuova era, in cui tutti i rami della vita e della conoscenza si fonderanno gradualmente in una Saggezza dell'Umanità appena acquisita. La geometria moderna e sintetica, come ha sottolineato Rudolf Steiner, è in effetti una delle poche azioni realmente creative della nostra epoca nella formazione del pensiero puro in quanto tale. Ma dimostrerà la sua fecondità in un aspetto più ampio solo quando saremo pronti a percepire le sue nozioni fondamentali nella luce concreta che è già ora resa possibile dalla Scienza Spirituale. Proprio come la vecchia Geometria era una volta astratta, dalla sostanza vivente dei Misteri nelle forme più sottili dell'intelletto e della dialettica, così dovremo sublimare il nuovo, dalla forma abbastanza astratta in cui ha iniziato il suo corso, nel sostanza di una conoscenza spirituale appena nata, che come Mistero-Saggezza del futuro riceverà nutrimento da tutti gli aspetti della vita e dell'impegno umano. (3)

Stranamente, questa Geometria non prende le mosse dalle forme di pensiero che si potrebbero facilmente considerare come le prime essenziali di tutte le nozioni spaziali. Intendo le forme-pensiero, fondamentali per l'architettura del nostro spazio terreno, che trovano espressione classica nel seguente passaggio dalla storia del Tempio di Salomone nel Libro dei Re: "... E c'era del cedro sulla casa all'interno scolpito con nodini e fiori aperti: tutto era cedro; non si vedevano pietre. E preparò un oracolo nel mezzo della casa interna, per collocare lì l'arca dell'alleanza del Signore. E all'interno dell'oracolo c'era uno spazio di venti cubiti di lunghezza e venti cubiti di larghezza e venti cubiti di altezza, e lo rivestì d'oro puro ... "(Re, vi. 19-20). Ci troviamo qui di fronte a due nozioni, cioè quelle di lunghezza ("tanti cubiti") e di angolo retto. Da queste due idee si forma il cubo; è la forma archetipica dello spazio terreno. Qui non solo diamo per scontato che esista una misura di lunghezza o distanza in una data direzione, ma assumiamo che le misure di lunghezza in tutte le direzioni possano essere confrontate, in modo che abbia un significato come in questo caso per diciamo che sono uguali nelle tre direzioni principali del cubo. Inoltre, combinando le idee di lunghezza e di angolo retto si ottiene la misura delle aree ("iarde quadrate") e dei volumi spaziali (tanti "piedi cubi"). Le stesse parole che qui utilizziamo, come "quadrato" o "piedi cubi", testimoniano la forma sottostante dell'angolo retto. Ciò che otteniamo seguendo queste linee è in ultima istanza (per usare una frase di Rudolf Steiner) l'idea di spazio come potenziale contenitore di cose fisiche, fenomeni fisici e oggetti. (4) È lo spazio in cui misuriamo i nostri quarti, i nostri volumi cubici nel senso ordinario. L'altra forma archetipica di questo spazio (accanto alla croce o all'angolo retto e al cubo) è la sfera, o la sua immagine piana il cerchio. Presumendo in effetti di poter confrontare misure di lunghezza in tutte le direzioni, la conseguenza immediata è l'idea di una superficie i cui punti sono equidistante su ogni lato da un dato centro. Questa è la sfera. Nell'immagine dell'aereo diventa il cerchio. Ora l'importante nella nuova Geometria è proprio questo, che impariamo a concepire lo spazio non solo in questo aspetto in cui serve come potenziale contenitore delle cose fisiche. Quando lo concepiamo in quest'ultimo aspetto, ciò che sperimentiamo in realtà non è che lo stadio finale di un lungo processo creativo spaziale; proprio come l'uomo ossuto solido, lo scheletro rigido, non è che lo stadio finale del lungo processo di evoluzione dell'uomo come essere terreno. I veri archetipi ideali dello spazio non sono però legati alle rigide forme del cubo o delle tre direzioni perpendicolari. La Geometria Moderna si avvicina sempre di più a questi archetipi ideali; penetra nel processo creativo spaziale; apprende "lo spazio in divenire". Da qui il significato che dobbiamo assegnargli per una conoscenza più spirituale anche della Natura esterna. Perché anche noi dobbiamo imparare a vedere nella Natura non solo ciò che è già pronto (e quindi sta morendo), ma ciò che è nuovo in divenire nella sua vita. Dobbiamo liberare l'immaginazione dalla schiavitù delle forme finite dello spazio. Tuttavia non dovremmo raggiungere questo obiettivo semplicemente lasciando da parte lo spazio e le forme spaziali. Abbiamo bisogno di un ponte nella conoscenza: una comprensione del "divenire spaziale" e del passaggio dall'esistenza spaziale al puramente spirituale ancora una volta. Abbiamo bisogno di una vera transizione dall'essenza interiore all'apparenza spaziale. La nuova Geometria fornisce questo ponte, o una sua parte essenziale, quando una volta lo richiamiamo alla vita con il tocco dell'Antroposofia. (6)

Non dovrebbe quasi essere necessario aggiungere che anche la nuova Geometria, in ultima analisi, ci offre una visione ideale delle forme finite dello spazio terreno: misure di lunghezza e volume; sfera e angolo retto, cerchio e cubo e così via. Ma a differenza di Euclide, non parte da questi. Ciò con cui inizia è l'idea di una polarità in cui l'aspetto terrestre o fisico dello spazio è in realtà solo uno dei due. Di fronte a quest'ultimo c'è l'aspetto etereo o eterico, come mi propongo di chiamarlo. Parlando in termini di Scienza Spirituale, abbiamo i veri fondamenti ideali di questa Geometria quando parliamo del contrasto tra fisico ed etereo; quando afferriamo la polarità cosmica del Cielo e della Terra, o anche del Sole e della Terra. (6) Questa, in effetti, è la concezione originale di tutto lo spazio: molto più originale, molto più profonda e potente delle forme finite dello spazio terreno con le sue forme cubiche e il suo contenuto. Possiamo descriverlo approssimativamente per cominciare, da un punto di vista, come una polarità di "interno ed esterno". Ci viene in mente l'epoca primordiale della nostra evoluzione, quando il corpo celeste del "vecchio Saturno" fu circondato per la prima volta dagli spazi celesti. In questo corpo di Saturno gli esseri spirituali delle sfere circostanti riversarono le loro forze. Ciò che era stato generato dai Troni ("Spiriti della Volontà") come essenza interiore, come se fosse un nucleo ardente del nuovo mondo, era per gli Spiriti celesti degli spazi circostanti l'obiettivo immediato della loro attività. (7) Anche se dobbiamo usare questi termini spaziali per mancanza di un altro linguaggio, non dobbiamo pensare in questa connessione a uno spazio così formato e completamente configurato come è lo spazio dell'Universo presente. Tuttavia, proprio nel contrasto tra interno ed esterno, o tra il nucleo della Volontà e la sfera spirituale circostante, c'erano già i primi rudimenti dello spazio nell'antico Saturno. In un'epoca successiva - nella "vecchia Luna" l'esistenza del Cosmo - le condizioni si complicarono. Dall'unico corpo centrale sorse una dualità: la dualità di Luna e Sole. Quando un certo stadio fu raggiunto, il vecchio corpo lunare si separò dal Sole. Da quel momento in poi le forze celesti lavorarono sul pianeta Luna non solo dalla sfera circostante del Cielo nel suo insieme, ma in larga misura dal Sole stesso. A proposito di questa fase, Rudolf Steiner scrive nel suo Outline of Occult Science: "In conseguenza di essersi separata dal Sole, la Luna è ora collegata al Sole nello stesso modo in cui una volta era Saturno con l'intera evoluzione cosmica circostante. Saturno è stato formato dal corpo degli Spiriti della Volontà (Troni). Dalla sostanza di Saturno irradiata indietro nello spazio cosmico tutto ciò che è stato sperimentato nella coscienza dagli esseri-Spirito nel suo ambiente. E attraverso gli eventi che seguirono, questo ritorno di fiamma si risvegliò gradualmente alla vita indipendente. Questa è l'essenza di tutta l'evoluzione. L'essere indipendente viene prima separato dalla vita dell'ambiente, poi l'ambiente si imprime - per così dire, per riflessione - sull'essere separato, e poi il quest'ultimo si evolve ulteriormente, in modo indipendente. Così il corpo della Luna si è separato dal Sole e, per cominciare, riflette semplicemente la vita del corpo del Sole. " (8)

Stiamo qui toccando uno dei segreti primordiali dell'evoluzione, che è davvero profondamente connesso con l'origine dello spazio stesso e di tutte le cose spaziali. Anche nella nostra epoca del cosmo, il contrasto tra il solare e l'etereo rispetto al terreno-fisico è all'opera in tutti gli esseri viventi, anzi anche nel minerale "morto", il cosiddetto, se una volta compreso quest'ultimo in un modo più profondo. Parlando di "Sole" a questo proposito, non dobbiamo solo pensare a un corpo celeste che occupa un posto apparente negli spazi cosmici; abbiamo in mente l'intera sfera luminosa del Cielo che da tutti i lati sta lavorando verso la Terra in un modo simile al sole, con forze celesti distinte da quelle terrene.


Portiamo questo contrasto dell'elemento simile al sole e del fisico terrestre anche nella nostra natura umana, e lo sperimentiamo naturalmente nell'immaginazione geometrica. Questa è l'esperienza di base su cui si fonda la Geometria moderna. Trova espressione per cominciare nella polarità di Punto e Piano. Il punto è il polo terrestre, il piano il celeste. (Nella figura i, il contrasto di punto e piano come richiamato dalla sfera è mostrato magnificamente dal tetraedro, quello che circoscrive una sfera, l'altro inscritto al suo interno.) È del tutto vero che punto e piano appaiono dapprima come puramente forme astratte, e potremmo non riconoscere immediatamente in esse questa polarità molto reale della Natura cosmica. Tuttavia, che sia così, diventa sempre più chiaro man mano che ci si fa strada nella questione. Per cominciare, alcune difficoltà intrinseche devono essere superate. Sono già stati ampiamente superati nella nuova Geometria; chiunque inizi ad apprenderlo deve affrontare il processo da solo. Ciò che resta ancora da ottenere sarà forse scoperto solo quando la Geometria verrà sollevata dal regno puramente astratto e collocata nel suo contesto reale in una scienza spirituale del mondo e dell'uomo, come stiamo cercando di fare qui. Le difficoltà derivano dal fatto che nella nostra vita terrena naturale sperimentiamo lo spazio in un aspetto fisico unilaterale. In verità, tutto lo spazio è fondato su una polarità pura e assolutamente "giusta": Cielo e Terra, etereo e fisico, o anche "luce e oscurità" - chiamatelo come vogliamo. Tuttavia, lo sperimentiamo per cominciare dal punto di vista del corpo fisico. È vero, abbiamo anche il nostro corpo eterico come architetto e costruttore essenziale del fisico; anche quest'ultima è quindi permeata dalla luce celeste. Quindi in tutte le concezioni spaziali, anche le più rigide e più terrene, la luce eterea è originariamente presente, sebbene sia del tutto sconosciuta. Ma le forme di immaginazione spaziale che sveliamo all'inizio sono in realtà quelle che corrispondono al regno dello spazio terrestre nel suo stato più completo. È uno spazio che è caduto, per così dire, dalla sua connessione celeste, che sperimentiamo nella vita ordinaria e nella Geometria del tipo antiquato, come potenziale vaso o contenitore di cose e fenomeni fisici. Eppure nel nostro pensiero attivo abbiamo il potere latente di liberarci da questa schiavitù unilaterale, fisicamente spaziale. Questo è precisamente ciò che la nuova Geometria ha fatto in larga misura, anche se per renderle giustizia dobbiamo iniziare a pensarlo abbastanza consapevolmente in questo spirito. Di solito pensiamo ad un piano, per esempio, come un particolare tipo di superficie, e concepiamo quest'ultima - ovviamente - come un'entità estesa. Ha un'area, una grandezza capace di dividersi in parti più piccole. Quando applichiamo in pratica questa forma di pensiero, dividiamo la superficie in piedi quadrati o pollici, o nel calcolo integrale in elementi di superficie ancora più piccoli e alla fine "infinitamente piccoli". Quindi immaginiamo che la superficie o il piano sia costituito da parti estese che, aggiunte, costituiscono il tutto. È questo modo estensivo di pensare che ora dobbiamo essere in grado di superare. Dobbiamo essere in grado di immaginare l'aereo nella sua totalità; in modo fluido per così dire, in effetti in modo etereo - non consistente in tanti punti o aree parziali centrate attorno a punti, ma nella sua estensione infinita come un tutto unico. Quando questa esperienza sarà acquisita, descriveremo onestamente il piano come indivisibile e indivisibile - anzi, come l'entità indivisibile soprattutto, perché così è nell'esperienza eterea dello spazio, proprio come il punto è l'indivisibile per l'esperienza fisica. Inutile dire che qui non abbiamo in mente alcuna porzione delimitata di un piano, come un tavolo o un pezzo di carta, ma in ogni caso il piano nella sua totalità, continuando come fa nell'infinito in tutte le direzioni. Questo ci porta ad un'altra difficoltà che deve essere superata. È la difficoltà di concepire ciò che dal punto di vista fisico dovremmo descrivere come "infinitamente distante". Entro i limiti del fisico, non potremo mai arrivare a fare chiarezza su questa domanda. La mente fisica immagina le infinità dello spazio fissando il vuoto vuoto in tutte le direzioni (la frase è di Rudolf Steiner, vedi Il corso della mia vita, pagina 45).

La verità è che attraverso le cosiddette "distanze infinite" dello spazio fisico, un altro, un mondo eterico inizia a brillare nella nostra immaginazione fisica. Dal punto di vista puramente fisico questo dà luogo a paradossi inevitabili, poiché qui ci congediamo dalle idee più tangibili e sensoriali e iniziamo a toccare il soprasensibile. Il piano nella sua totalità, poiché si estende all'infinito in tutte le direzioni, è infatti un'entità autosufficiente e quasi ciclica, che ritorna in sé attraverso l'infinito da tutte le parti. Esci nell'infinito in una direzione e torni dall'infinito dalla direzione opposta. Perché all'infinito ogni linea retta dello spazio ha un unico punto. Non ci sono due punti all'infinito, uno a sinistra per esempio e uno a destra; né possiamo dire che non ce ne sia affatto. Ce n'è solo uno (Figura 2). È lo stesso punto infinitamente distante che raggiungi quando esci a sinistra ea destra. Esci nell'infinito verso sinistra; tornerai da destra e così completerai il ciclo. Esci verso destra e tornerai di nuovo da sinistra al punto di partenza. Lo stesso vale per una linea verticale. Salite nell'infinito e tornerete dall'infinito sotto di voi. Zenith e nadir sono un unico punto nello spazio puro dell'immaginazione matematica. Quando applichiamo queste nozioni al piano nella sua totalità, percepiamo che nell '"infinito" esso ha come sua periferia, non come si potrebbe supporre un immenso cerchio, ma una linea retta. Sebbene ci circondi su tutti i lati, questa "linea all'infinito" è diritta. E per tutto lo spazio riconosciamo che nell'infinito ha come sua circonferenza - come la totalità di punti infinitamente distanti - non come si potrebbe supporre una "sfera" di dimensioni infinite, ma un piano * I matematici quindi parlano veramente di " piano all'infinito "dello spazio. È significativo che le porzioni infinitamente lontane e più cosmiche di questo spazio non siano polarizzate nelle coppie di opposti che appartengono al mondo fisico e finito. Il cerchio e la sfera sono sempre polarizzati nelle coppie di punti o antipodi diametralmente opposti in ciascuna direzione. Ma nell'infinito dello spazio i due antipodi si fondono sempre in uno. Quando lo percepiamo veramente, iniziamo a sentire lo spazio non più semplicemente come un vasto senza fine, ma come un tutto organico e autonomo. E possiamo quindi trovare la vera transizione dall'aspetto terreno-fisico a quello etereo.

Ad esempio, si può pensare al seguente esperimento. Immagina un piano orizzontale in una data posizione e sopra di esso un punto fisso nello spazio. Ora lascia che passi per il punto un secondo piano mobile. Lascia che quest'ultimo si muova abbastanza liberamente attraverso tutte le posizioni possibili, fatta salva l'unica condizione che non si allontani mai dal punto fisso, che anzi funge da perno per il piano in movimento. Entrambi i piani, quello mobile così come quello orizzontale fisso sottostante, sono, ovviamente, da concepire nella loro estensione infinita. Da qualche parte avranno una linea, una linea retta *, in comune. Prova a immaginare come questa linea, in cui i due piani si incontrano, si sposta nel piano orizzontale sottostante. Si riconoscerà subito che più piccola diventa l'inclinazione tra i due piani, più la linea si sposterà in lontananza. Ora c'è una posizione in cui i piani sono paralleli - dove, in effetti, anche il piano mobile diventa orizzontale. Lascia che si avvicini molto a questa posizione senza raggiungerla del tutto e vedrai la linea comune dei due piani spostarsi verso l'esterno con velocità crescente nell'orizzonte infinito. Inoltre, questo avverrà da ogni parte. Se il piano mobile era, per cominciare, inclinato verso il basso a sinistra e poi viene fatto avvicinare all'orizzontale, la linea si sposterà verso sinistra. Si muoverà verso l'esterno verso destra, avanti o indietro o in qualsiasi direzione ci piaccia, a seconda dell'inclinazione del piano da cui iniziamo ad avvicinarci alla posizione parallela. Nel momento in cui quest'ultimo viene raggiunto, la linea comune dei due piani apparentemente svanisce. Eppure nel momento successivo, se superiamo il segno, per quanto poco, apparirà di nuovo nel trimestre opposto. Se la linea scompare verso sinistra, tornerà da destra. Oppure spazzerà l'orizzonte, a grande distanza e con enorme velocità, se teniamo il piano mobile molto vicino alla posizione parallela, muovendolo avanti e indietro anche se leggermente. Percepiamo a lungo che in senso ideale la linea comune dei due piani è lì anche in posizione parallela, solo che si è spostata nell'infinito da tutti i lati. Rimane comunque una linea retta; la linea comune di due piani non può essere concepibilmente altro che diritta. Quindi percepiamo che la porzione infinitamente distante di ogni piano è una linea retta. I piani paralleli sono tali che hanno in comune le loro linee infinitamente distanti, anche se altre coppie di piani hanno altre linee in comune. Possiamo ora affermare senza eccezioni: due piani qualsiasi dello spazio hanno una linea retta in comune. Non abbiamo più bisogno di fare eccezione (come doveva fare la vecchia Geometria) di piani paralleli. * Qui e in tutto il seguito, userò sempre la singola riga della parola, che significa "linea retta". Quanto alla parte infinitamente distante di una stessa linea retta, giungiamo a una conclusione simile. Immagina in un dato piano una linea orizzontale e un punto fisso sopra di essa, come nella Figura 2. Passando per il punto e nel piano, pensa a una seconda linea, mobile, che ruota come un raggio attorno al punto. Il punto comune del raggio in movimento con la linea orizzontale sottostante si sposta verso l'esterno nell'infinito, a destra oa sinistra a seconda dei casi. Man mano che le due linee crescono parallele, scompare per un momento, ma l'istante successivo riemerge all'orizzonte dalla direzione opposta. Qui percepiamo il passaggio abbastanza continuo e veloce dalla distanza infinita sulla mano sinistra alla distanza infinita sulla destra, o viceversa. La posizione esattamente parallela corrisponde al punto "infinitamente distante", che si trova contemporaneamente a destra e a sinistra. Pertanto i punti di una retta formano una serie ciclica.

Quindi percepiamo che le entità estese dello spazio - la linea retta, il piano - non si estendono nel nulla vago ma sono in realtà insiemi organici e auto-chiusi. Tale intuizione ci preparerà già a riconoscerli come entità singole e indivisibili. Dobbiamo essere in grado di sentirli anche in quest'ultimo aspetto, se vogliamo trovare la via attraverso la Geometria nell'aspetto più etereo dello spazio e del cosmo. Allora non abbiamo più semplicemente la sensazione che il piano sia costituito da infiniti punti; lo sentiamo come un tutto unico. Proprio come Euclide definisce il punto: "Un punto è ciò che non ha parti", così ora sentiamo riguardo al piano: "Un piano è ciò che non ha parti". Per quanto strano possa sembrare, questa è la vera verità per l'aspetto etereo dello spazio, proprio come l'altro lo è per il più ovvio: il fisico. E ora, per compensare questo, dobbiamo sviluppare d'altra parte la facoltà di sentire il punto - che è così ovviamente l'indivisibile per l'esperienza fisica - come una cosa molteplicemente organizzata e membro, cioè divisibile. Come disse in un'occasione Rudolf Steiner, dobbiamo imparare a sperimentare ciò che è "esteso" in modo intensivo e ciò che è "intenso" in modo estensivo. Sentire intensamente il "vasto" significa sperimentare il piano come un tutto unico e indivisibile. Sentire l '"intensivo" in modo estensivo, è vedere il punto composto (nonostante la sua "nessuna estensione"!) Di molte parti e membri. Quali sono le parti o i membri del punto? Sono gli aerei che lo attraversano in tutte le direzioni. La relazione è reciproca. Proprio come il piano è divisibile in punti o regioni centrate sul punto, così il punto è divisibile in piani e "regioni planari" - usando quest'ultima parola, è vero, in un senso insolito ma nondimeno esattamente. Proprio come il piano è in un aspetto un organismo di infiniti punti e di infinita diversità (poiché i punti di un piano non giacciono caoticamente uno accanto all'altro ma sono organizzati in modo multiforme, come sperimentiamo immediatamente quando iniziamo a disegnare motivi geometrici su un pezzo di carta, (ad es., Figura 3), così il punto nello spazio ora rappresenta un organismo di infiniti piani, non meno saggiamente e diversamente membri (Figura 4). (10) L'idea puramente geometrica che abbiamo qui spiegato (è il cosiddetto "Principio di Dualità" della Geometria moderna, portato alla sua logica conclusione) è la controparte ideale di un fatto cosmico della Natura. Riconoscetelo, e siamo andati a metà strada, più che a metà in una direzione, per colmare il divario tra occultismo e scienza moderna. L'esperienza fisica dello spazio e delle cose spaziali afferma con ovvia convinzione che "il tutto è più grande della parte" - Euclide ancora una volta! Questa proposizione risponde, ad esempio, alla divisione di un piano nei suoi punti o regioni centrate sui punti. Per il mondo etereo è vero l'esatto contrario. Nel mondo etereo il tutto non è affatto più grande della parte; è invece più piccola. Così Rudolf Steiner ci ha detto come la formazione di un organo eterico - diciamo il fegato eterico - appare alla coscienza soprasensibile. Molteplici flussi e influenze fluiscono insieme dal cosmo. Nel luogo in cui si compenetrano, nasce dalla loro interazione (è un'interazione qualitativa, ma il suo effetto è allo stesso tempo spaziale) l'organo eterico nel suo insieme. Queste correnti dall'universo sono le parti cosmiche, i membri eterici dell'organo. L'organo nel suo insieme è quindi più piccolo delle sue parti. Questo è un processo assolutamente reale, percepibile dalla coscienza soprasensibile. Nel mondo del pensiero puro, cioè in Geometria, la verità corrispondente è nella sua forma più ideale la concezione del punto come un organismo di molti piani, internamente membro e composto dai piani che lo attraversano in tutte le direzioni. Tra le polarità di punto e piano, la linea retta media. Nelle sue relazioni è equamente bilanciato tra di loro. (Due piani, ad esempio, hanno una linea retta in comune; quindi hanno due punti, cioè la linea che li "unisce". O ancora: un punto e una linea nello spazio esterno generano un piano; così fanno un piano e la linea al di fuori di essa genera un punto, il loro punto di incontro. La linea si inclina da un lato verso l'aspetto fisico e dall'altro verso l'aspetto etereo dello spazio. Raggiunge i punti dello spazio e si intreccia nei piani, creando molte forme e immagini. Visto come il raggio che esce dal punto, sperimentiamo maggiormente la linea retta con la qualità della Volontà; quando intreccia forme e immagini nell'aereo, lo seguiamo di più con la nostra vita di Pensiero.

La linea stessa può essere divisa in due modi (Figura 5). Innanzitutto può ovviamente essere diviso negli infiniti punti che si trovano "lungo di esso". Questo è l'ovvio, l'aspetto fisicamente spaziale. Ma possiamo anche dividere la linea in modo etereo, perché possiamo riconoscerla come formata organicamente da tutti i piani che la circondano. Pensa a una linea come all'asse comune dei suoi piani. Prova a vivere l'immagine, non nel solito modo estensivo, ma per quanto possibile percependo le cose estese in modo estensivo. Si riconosceranno allora i piani in modo del tutto naturale come i membri, anzi come le parti della linea, proprio come nello spazio fisico si percepiscono i punti come le sue parti o membri. E se ora ricordiamo che anche questi ultimi - i punti di una retta - costituiscono una serie ciclica, vediamo che la polarità è perfetta. Proprio come i piani in quanto membri eterici di una linea gli girano attorno, così fanno i punti mentre i suoi membri fisici lo circondano - fuori attraverso l'infinito e ritorno. Questa è la bellissima polarità che riconosciamo quando nel pensiero puro superiamo l'unilateralità dell'immaginazione ingenua, che nasce dal fatto che nella nostra vita terrena l'aspetto fisico è l'aspetto familiare. Strettamente connessa con la polarità del punto e del piano nello spazio, è un'attività del pensiero che è stata infatti l'origine storica della nuova Geometria. È una forma di pensiero che ha in qualche modo a che fare con la nostra visione del mondo spaziale, e quindi con l'arte e la scienza della prospettiva, o "proiezione" come viene chiamata. Da qui anche il nome, "Geometria proiettiva", con cui a volte è conosciuta la Geometria moderna. Il mondo dello spazio intorno a noi è diffuso in lungo e in largo, pieno della luce del sole. Il nostro occhio, al contrario, visto come un organo fisico, ha una funzione di contrazione, puntiforme. Riceve questo spazio di luce diffuso, per così dire, in un unico focus. È vero, con il nostro corpo eterico viviamo in questo mondo pieno di luce. Etericamente, come una volta lo descrisse Rudolf Steiner, stiamo nuotando nella luce e con essa. 11 Nondimeno, lo portiamo a casa alla coscienza fisica e terrena solo esercitando la contrazione necessaria, per mezzo dell'organo fisico. Questo processo di contrazione, questa raccolta del campo visivo in un fuoco puntiforme e la sua proiezione sulla minuscola superficie della retina, è descritto in modo familiare dall'ottica fisiologica. Sebbene ci sia molta illusione nelle spiegazioni familiari, ciò che è abbastanza evidentemente vero è che questo gioco di contrazione ed espansione nella relazione dell'occhio con il mondo circostante è in qualche modo fondamentale per la nostra visione degli spazi pieni di sole. Gli aspetti puramente spaziali del processo sono studiati nella teoria della prospettiva, così come è stata praticata anche dai grandi artisti dell'epoca del Rinascimento, l'alba dell'era naturalistica moderna. Fu in questo che nacque davvero la nuova Geometria. Iniziamo immaginando ogni punto dello spazio come un potenziale punto di osservazione, in grado di ricevere in sé tutte le forme e le immagini dello spazio circostante. Questo era il risultato molto naturale, per la pura Geometria, dell'intera teoria della prospettiva ottica. Per quanto fuorvianti siano state queste forme di pensiero nelle teorie materialistiche dell'ottica - con i loro raggi di luce quasi materiali, i corpuscoli volanti e altre costruzioni ipotetiche - non sono meno significative e fruttuose per il pensiero puro.

Immagina, ad esempio, in un piano un'immagine geometrica, intessuta di linee e punti. Di fronte all'aereo, concepisci un punto di vista, cioè un punto qualsiasi nello spazio. Le forme e le figure che appaiono ampiamente davanti a noi nell'immagine piana vengono ricevute dal punto dell'occhio come un cono di raggi, che è più simile a un seme o germe di luce. Parlando in dettaglio, le linee del quadro piano diventano così tanti piani nel punto dell'occhio, in quanto ogni linea nello spazio, presa insieme a un punto al di fuori di esso, genera un piano. I punti dell'immagine piana diventano raggi, cioè linee rette nel punto dell'occhio. Qualunque immagine o modello sia stato tessuto delle linee e dei punti nel piano, viene ricevuto come una configurazione corrispondente di piani e linee nel punto oculare. Ma questa configurazione non sarà immaginabile esteriormente come lo era l'immagine dell'aereo. L'immagine nel piano, come entità estesa, è stata accolta intensamente nel punto. Da una forma espansa e visibile, è diventato, per così dire, un seme di luce, non meno specificamente formato. Possiamo davvero descriverlo come un seme di luce, se con la "luce" connotiamo il principio formativo e formatore dello spazio. Perché se ora affrontiamo il punto che contiene questa configurazione latente da qualsiasi altro piano di spazio, sorgerà in quest'ultimo un'immagine fresca, rispondente in ogni dettaglio all'originale, solo nella metamorfosi corrispondente, secondo le posizioni relative dei due piani e dell'occhio. Per fare un caso semplice, immagina in un piano un cerchio e di fronte al centro del cerchio un qualsiasi punto nello spazio (Figura 6). In quest'ultimo si irradierà - non solo verso il cerchio ma in entrambe le direzioni dal punto - un cono (un normale "cono circolare retto", come viene chiamato). Se confrontiamo questo cono su un altro piano, otteniamo una nuova curva. È una cosiddetta sezione "conica" o conica; sarà cerchio o ellisse, parabola o iperbole a seconda dei casi. È una metamorfosi del cerchio originale. Dobbiamo ricordare che il quadro originale, il cerchio, in realtà non è costituito solo da punti ma allo stesso tempo da linee all'interno del suo piano, cioè le linee tangenti, che, come si suol dire, lo "avvolgono". In altre parole, è formato non solo dall'aspetto fisico dello spazio (radialmente, punto per punto come dal suo centro), ma allo stesso tempo etereo, perifericamente. I punti della circonferenza danno origine ai raggi, i cosiddetti "generatori" del cono; le linee tangenti danno origine ai piani tangenti del cono. Anche il cono è formato non solo dalle linee generatrici che giacciono così esternamente e visibilmente davanti a noi, ma è costituito non meno organicamente dai piani tangenti da cui è "avvolto". Continuando questo gioco ritmico di espansione in immagini esteriori e contrazione nella qualità semi-simile dei punti, creiamo le metamorfosi di base della forma spaziale. Inoltre, in questo modo non solo siamo in grado di trasformare forme una volta date come nell'ultimo esempio, ma di produrne di nuove, fase dopo fase, in un processo sempre crescente di miglioramento. Questo ritmo contiene infatti la qualità creativa dello spazio, ed è in questa - l'idea più originale di spazio - che apprendiamo la grande polarità che è alla base dell'evoluzione del mondo stesso. Possiamo chiamarla polarità di seme e forma, o seme e immagine. Anche nel nostro essere umano siamo così polarizzati. Perché possiamo arrivare a riconoscere che questa polarità dello Spazio è profondamente correlata alla vita del Tempo, al gioco del passato e del futuro - nascita, morte e resurrezione del mondo. Abbiamo i due poli nel nostro essere umano. Dal passato portiamo in noi nella nostra testa-natura molteplici immagini cosmiche, le cui ombre morenti sperimentiamo nella nostra vita di Pensiero; mentre ci irradiamo nel futuro portiamo semi di mondi futuri dentro di noi nella nostra Volontà, nella formazione spirituale interiore dell'uomo-arto. Dal passato siamo formati dagli archetipi cosmici primordiali, di cui solo una debole eco è visibile per noi nelle costellazioni, sparse nell'apparente infinità del Cielo. Dall'infinita periferia dello spazio le immagini cosmiche muoiono nel nostro essere. Questo è il segreto della formazione della testa umana. Ma nel regno della Volontà gli archetipi cosmici sorgono a una nuova vita, da quelle profondità della Terra in cui scendiamo con il nostro Io come nel nocciolo di fuoco del mondo. "Il passato che getta le sue ombre", scrive Rudolf Steiner, "il futuro che custodisce i semi della realtà, si incontra nell'essere umano. E l'incontro è la vita umana del tempo presente ". (13)

Ora possiamo nominare il Mistero spirituale a cui la nuova Geometria si è inconsciamente avvicinata, prima nella pura idea di spazio. È il Mistero di Persefone: l'evoluzione della Terra e dell'Uomo dal passato e nel futuro. È lo stesso processo profondo che viene messo in atto nel mondo delle piante, di volta in volta nei ritmi più brevi dell'anno. Riconoscere questo fatto ha un significato indicibile, poiché in tal modo iniziamo a prendere possesso dello spazio non più solo nella sua forma rigida e finita, ma nella sua evoluzione fuori dal tempo. Il tempo nella sua essenza è fondamentale per i pensieri archetipici dello spazio. Nel progresso spirituale della scienza, dobbiamo diventare capaci di riferire ancora una volta lo spazio e tutte le relazioni spaziali all'elemento del tempo, poiché con questo mezzo nella nostra vita di conoscenza iniziamo a elevare il mondo spaziale esterno a quello spirituale. (14) Durante le sue lezioni sul rapporto delle diverse scienze con l'Astronomia (Stoccarda, nel gennaio 1921), Rudolf Steiner ha parlato del mondo delle piante nei seguenti termini: "Attraverso il mondo vegetale la vita della Terra per così dire si apre all'Universo ... La vita vegetale, che copre una data regione della Terra, è davvero una specie di organo sensoriale, sensibile a tutto ciò che è rivelato verso la Terra dal Cosmo. Nelle stagioni in cui l'interazione è più intensa tra una porzione della superficie terrestre e l'Universo, è come se un essere umano aprisse gli occhi sul mondo esterno per ricevere impressioni sensoriali. E quando l'interazione è meno intensa tra la Terra e il Cosmo, il conseguente declino e chiusura interiore della vita vegetativa è come una chiusura degli occhi al Cosmo. È più di un semplice paragone dire che attraverso la sua vegetazione un dato territorio apre gli occhi all'Universo in primavera ed estate e chiude gli occhi in autunno e inverno. E come aprendo e chiudendo i nostri occhi in un certo senso conversiamo con il mondo esterno, così è anche una sorta di informazione o rivelazione. lazione dall'Universo che la Terra riceve aprendo e chiudendo i suoi occhi attraverso la vita delle piante. (15) "E per descriverlo un po 'più precisamente, possiamo considerare la vegetazione di una data regione della Terra quando è esposta, per così dire, all'interazione più vivida con la vita solare, e possiamo quindi rivolgere la nostra attenzione al stato di vegetazione in questa regione quando non è così esposta. L'inverno, non ho bisogno di dirlo, non interrompe la vita vegetativa della Terra. Inutile dire che la vita vegetativa continua durante l'inverno. Ma si esprime in un modo completamente diverso rispetto a quando è esposto al lavoro intensivo dei raggi del Sole o, diciamo, del Cosmo. Sotto l'influenza della vita solare, la vita vegetativa della Terra prende forma. Le foglie si aprono e diventano più complesse; si sviluppano fiori e boccioli. Ma quando questo è seguito dalla chiusura degli occhi all'Universo, se così possiamo chiamarlo, la vita vegetativa ritorna in se stessa, nel seme. Ritirandosi dal mondo esterno, non prende più forma esteriore; si concentra, se così posso dire, in un punto; diventa centrato in se stesso. "Possiamo descrivere questo contrasto veramente come una legge della natura. L'interazione tra la vita terrena e quella solare si rivela nella vegetazione terrestre. Sotto l'influenza solare la vita vegetativa prende forma all'esterno; sotto l'influenza della vita terrena si chiude in un punto; diventa il seme o il germe. In tutto questo c'è una qualità di espansione e di contrazione o raccolta in un centro. Qui iniziamo a cogliere le relazioni dello spazio stesso in un aspetto direttamente qualitativo. Questa è proprio la cosa che dobbiamo mettere in pratica nello sviluppo delle nostre idee, se vogliamo fare progressi essenziali in questo campo ".

Ciò che qui descrive Rudolf Steiner, che porta alla richiesta di afferrare le relazioni dello spazio da un aspetto qualitativo - questo è davvero lo sfondo cosmico delle idee-radice dello spazio che vengono rivelate nella nuova Geometria. Possiamo applicare abbastanza consapevolmente, in questo contesto puramente geometrico, le parole "espansione e contrazione" prese dalla teoria delle piante di Goethe. Lo stesso Goethe non le intende in un senso banalmente spaziale, ma con un significato più profondo e qualitativo.


II. Spazio etereo e sue forze

Tuttavia, non si tratta solo di queste relazioni più generali. Si apre così alla scienza una grande varietà di possibilità nuove e molto concrete. Rudolf Steiner nelle sue conferenze scientifiche speciali ha parlato di tali aperture in modo abbastanza definitivo. Per comprendere il funzionamento spaziale delle forze eteree e simili al sole, dobbiamo sviluppare tra le altre cose l'idea di una sorta di contro-spazio o anti-spazio, in contrasto con lo spazio fisico unilaterale della coscienza normale. ness. Qui ci sono compiti abbastanza definiti, sia per il pensatore matematico che per l'investigatore della natura esterna. Perché ci sono molte cose in Natura che non riusciamo a riconoscere, sebbene esse può essere vicino a noi tutto il tempo - perché in realtà fanno il loro corso in un tale contro-spazio, mentre la coscienza di oggi, con il suo orientamento fisico unilaterale, ha la sua attenzione fissata nella direzione opposta e quindi non lo fa vedere i processi in questione.

Che le forze eteree abbiano a che fare con un tipo opposto di spazio o di lavoro spaziale, è espresso da Rudolf Steiner anche nei capitoli elementari della sua scienza spirituale. L'aspetto fisico ordinario dello spazio è tale che quasi sempre lo sperimentiamo come da un centro relativo. Ciò è vero sia per quanto riguarda la struttura puramente geometrica di questo spazio, sia per quanto riguarda le forze fisiche e le sostanze che esso contiene. Tipica di questo tipo di spazio è ad esempio l'idea delle "coordinate polari", come vengono chiamate, dove misuriamo le distanze in tutte le direzioni radialmente da un centro scelto e allo stesso tempo segniamo gli angoli tra i diversi raggi. Otteniamo così una registrazione precisa delle relazioni di forma e posizione in questo tipo di spazio. Questo per quanto riguarda la geometria pura. E quando pensiamo alle sostanze e alle forze nello spazio fisico esterno, sperimentiamo questa qualità centrica ancora più intensamente. Tutti gli effetti fisici si irradiano dai centri: centri di gravità, poli magnetici, cariche elettriche, sorgenti di radiazioni e simili. Si irradiano dai centri e si perdono su tutti i lati alla periferia dello spazio. Le forze fisiche possono quindi essere veramente descritte come "forze centriche". Nella loro totalità costituiscono il polo terreno del funzionamento della Natura. La scienza ortodossa finora ha pensato a queste, in senso lato, come l'unico tipo di forze, e ha tentato di spiegare la Natura solo in termini di esse. Il dottor Steiner d'altra parte oppone loro un altro tipo di forza, che descrive come "forze periferiche" o "forze cosmiche". Queste sono precisamente le "forze eteriche" della scienza antroposofica. 16 Lavorano sempre, dice, come dalla circonferenza del mondo. Ciò non significa (come si potrebbe concludere fin troppo prontamente, seguendo analogie fisiche) che funzionino da singoli punti della circonferenza dello spazio. Ogni "forza eterica" ​​agisce su tutta la circonferenza. Vale a dire, la sua fonte spaziale è di natura esattamente opposta a quella che si potrebbe immaginare fisicamente. La sua fonte non è affatto un punto, ma l'esatto opposto, vale a dire una "periferia infinita". Il lettore può fare riferimento ai capitoli introduttivi scientifici nel manuale medico, Fondamenti di terapia, di Rudolf Steiner e la dottoressa Ita Wegman. Leggiamo ad esempio nel terzo capitolo, dei "Fenomeni della vita": "L'osservazione mostra ... che i fenomeni della vita hanno un orientamento completamente diverso da quelli che seguono il loro corso all'interno del regno senza vita. Di questi ultimi potremo dire che rivelano di essere soggetti a forze che si irradiano verso l'esterno dall'essenza della sostanza materiale. Queste forze si irradiano dal centro - relativo - alla periferia. Ma nei fenomeni della vita, la sostanza materiale appare soggetta a forze che operano dall'esterno verso l'interno, verso il centro relativo. Passando nella sfera della vita, la sostanza deve ritirarsi dalle forze che si irradiano verso l'esterno e sottomettersi a quelle che si irradiano verso l'interno. "Ora è alla Terra che ogni sostanza terrena, o processo terreno, deve le sue forze del tipo che si irradiano verso l'esterno. Ha queste forze in comune con la Terra. È, infatti, solo come costituente del corpo Terra che ogni sostanza ha la natura che la Chimica scopre in essa. E quando si tratta di vita, deve cessare di essere una mera porzione della Terra; lascia la sua comunità con la Terra e viene raccolto nelle forze che si irradiano verso l'interno verso la Terra da tutti i lati, da oltre il regno terreno. Ogni volta che vediamo una sostanza o un processo dispiegarsi in forme di vita, dobbiamo concepirlo come ritirarsi dalle forze che lavorano su di esso come dal centro della Terra, ed entrare nel dominio degli altri, che non hanno un centro, ma una periferia...

Che le forze eteree abbiano a che fare con un tipo opposto di spazio o di lavoro spaziale, è espresso da Rudolf Steiner anche nei capitoli elementari della sua scienza spirituale. L'aspetto fisico ordinario dello spazio è tale che quasi sempre lo sperimentiamo come da un centro relativo. Ciò è vero sia per quanto riguarda la struttura puramente geometrica di questo spazio, sia per quanto riguarda le forze fisiche e le sostanze che esso contiene. Tipica di questo tipo di spazio è ad esempio l'idea delle "coordinate polari", come vengono chiamate, dove misuriamo le distanze in tutte le direzioni radialmente da un centro scelto e allo stesso tempo segniamo gli angoli tra i diversi raggi. Otteniamo così una registrazione precisa delle relazioni di forma e posizione in questo tipo di spazio. Questo per quanto riguarda la geometria pura. E quando pensiamo alle sostanze e alle forze nello spazio fisico esterno, sperimentiamo questa qualità centrica ancora più intensamente. Tutti gli effetti fisici si irradiano dai centri: centri di gravità, poli magnetici, cariche elettriche, sorgenti di radiazioni e simili. Si irradiano dai centri e si perdono su tutti i lati alla periferia dello spazio. Le forze fisiche possono quindi essere veramente descritte come "forze centriche". Nella loro totalità costituiscono il polo terreno del funzionamento della Natura. La scienza ortodossa finora ha pensato a queste, in senso lato, come l'unico tipo di forze, e ha tentato di spiegare la Natura solo in termini di esse. Il dottor Steiner d'altra parte oppone loro un altro tipo di forza, che descrive come "forze periferiche" o "forze cosmiche". Queste sono precisamente le "forze eteriche" della scienza antroposofica. 16 Lavorano sempre, dice, come dalla circonferenza del mondo. Ciò non significa (come si potrebbe concludere fin troppo prontamente, seguendo analogie fisiche) che funzionino da singoli punti della circonferenza dello spazio. Ogni "forza eterica" ​​agisce su tutta la circonferenza. Vale a dire, la sua fonte spaziale è di natura esattamente opposta a quella che si potrebbe immaginare fisicamente. La sua fonte non è affatto un punto, ma l'esatto opposto, vale a dire una "periferia infinita". Il lettore può fare riferimento ai capitoli introduttivi scientifici nel manuale medico, Fondamenti di terapia, di Rudolf Steiner e la dottoressa Ita Wegman. Leggiamo ad esempio nel terzo capitolo, dei "Fenomeni della vita":
"L'osservazione mostra ... che i fenomeni della vita hanno un orientamento completamente diverso da quelli che seguono il loro corso all'interno del regno senza vita. Di questi ultimi potremo dire che rivelano di essere soggetti a forze che si irradiano verso l'esterno dall'essenza della sostanza materiale. Queste forze si irradiano dal centro - relativo - alla periferia. Ma nei fenomeni della vita, la sostanza materiale appare soggetta a forze che operano dall'esterno verso l'interno, verso il centro relativo. Passando nella sfera della vita, la sostanza deve ritirarsi dalle forze che si irradiano verso l'esterno e sottomettersi a quelle che si irradiano verso l'interno.
"Ora è alla Terra che ogni sostanza terrena, o processo terreno, deve le sue forze del tipo che si irradiano verso l'esterno. Ha queste forze in comune con la Terra. È, infatti, solo come costituente del corpo Terra che ogni sostanza ha la natura che la Chimica scopre in essa. E quando si tratta di vita, deve cessare di essere una mera porzione della Terra; lascia la sua comunità con la Terra e viene raccolto nelle forze che si irradiano verso l'interno verso la Terra da tutti i lati, da oltre il regno terreno. Ogni volta che vediamo una sostanza o un processo dispiegarsi in forme di vita, dobbiamo concepirlo come ritirarsi dalle forze che lavorano su di esso come dal centro della Terra, ed entrare nel dominio degli altri, che non hanno un centro, ma una periferia...

Il dottor Steiner non parla solo di forze che lavorano in modo spaziale opposto; in molti passaggi parla effettivamente di un tipo opposto di spazio stesso. (Agli studenti di scienze contemporanee questo non sembrerà del tutto sorprendente, poiché, come hanno suggerito i recenti sviluppi della fisica, non possiamo più distinguere in modo così astratto uno spazio dalla totalità delle forze che vi operano.) Ora l'intera questione è , Dove troveremo il punto di applicazione dell'idea di un tale contro-spazio - cioè il tuo spazio di qualità opposto - allo spazio familiare dell'esperienza fisica? La realtà può senza dubbio essere raggiunta dallo spirito umano in molti modi. La nostra via matematica - la via del pensiero puro - è solo una via, sebbene importante a questo riguardo. Il fatto è che la geometria moderna fornisce l'indizio nel modo più naturale, se ancora una volta ci azzardiamo a prendere sul serio le parole di Rudolf Steiner, per quanto paradossali possano apparire a prima vista. È significativo come in questo momento il pensiero matematico puro e l'indagine soprasensibile conducano nella stessa direzione.

Per cominciare dobbiamo renderci conto abbastanza chiaramente come lo spazio liberamente metamorfico, uniformemente equilibrato della "Geometria proiettiva" - lo spazio le cui fondamenta sono rivelate nella pura polarità di punto e piano, espansione e contrazione, forma manifesta e seme-di-forma - è legato allo spazio rigido e già terreno di cui abbiamo a che fare nell'antica Geometria di Euclide, delle scuole. Gli uomini di genio che hanno portato a compimento la nuova Geometria nel secolo scorso sono diventati pienamente chiari su questo rapporto; Tuttavia, dalla stessa chiarezza della loro percezione è emerso un nuovo enigma. Solo l'intuizione della scienza spirituale nella natura del cosmo a questo punto offrirà una vera soluzione.

Devo qui fare uno sforzo per spiegare come lo spazio di Euclide, lo spazio fisico unilaterale, come l'ho chiamato, è correlato allo spazio più mobile e, come sappiamo, più originale della Geometria proiettiva. Esposte in una forma puramente astratta, queste cose fanno appello solo a matematici addestrati; tuttavia di per sé non sono così difficili, ed è importante che i circoli più ampi li conoscano. 18 Posso quindi prendere in prestito da un altro regno della conoscenza alcune idee che aiuteranno a spiegare cosa si intende. Chi conosce Metamorphosis of Plants 1 * di Goethe avrà familiarità con un'idea che è davvero significativa, non solo in botanica ma in tutte le scienze della vita e per quella materia anche in estetica. C'è un'entità vivente la cui intera formazione porta la prova di un certo principio fondamentale della forma. L'idea formativa non si esprime in una maniera esterna, causale, come mettendo insieme questi o quei fattori esterni. Si rivela intrinsecamente, in modo vivo. Può essere di natura plastica o più musicale e ritmica, come motivo, tema di fondo. Il dispiegarsi come processo vivente, come idea interiore, arriva all'espressione in tutte le parti e gli organi dell'entità in questione. In ogni pianta, ad esempio, vive un'idea formativa o archetipo nascosto, e con l'occhio dell'immaginazione possiamo riconoscere la stessa in continua metamorfosi, fedele a se stessa in foglia e brattea, petalo e capsula. Ma lo stesso principio formativo che le varie parti rivelano così variamente, lo troviamo manifestato anche nella forma e nel carattere del tutto. Il principio nascosto che sta alla base di tutti gli organi e di tutte le funzioni vitali, riemerge ancora una volta come in un quadro unico nella forma dell'intero organismo. Inoltre questo è vero non solo in senso spaziale ma nella vita del tempo. Quello che riconosciamo ad esempio in ogni singola pianta della Terra come il ritmo essenziale della sua vita - "espansione e contrazione" - lo ritroviamo nel rapporto del corpo Terra vivente con il Sole, nel grande gioco cosmico di le stagioni (confronta il passaggio sopra citato di Rudolf Steiner).

La bella idea, che nell'insieme è manifesto ciò che come un processo funziona in ogni parte, vale anche per la formazione dello spazio in quanto tale. Nella nuova Geometria iniziamo a sperimentare lo spazio più come un organismo vivente; quindi queste idee di metamorfosi si applicano. Abbiamo già visto ciò che è all'opera come l'idea originale di spazio: la polarità di punto e piano. In questa polarità abbiamo a che fare con infinitamente molti punti e infinitamente molti piani. Ciò che conta è la loro potenziale interazione in virtù della linea che irradia e intreccia tra i due tipi di entità, creando ciò che abbiamo descritto come le "immagini" e i "semi" della forma. E se scoprissimo, nella formazione dell'intero spazio cosmico, un unico piano archetipico, un punto archetipico? Dovremmo poter dire che nella formazione dell'intero spazio l'idea stessa di polarità che è all'opera in tutte le sue parti e processi, si rivela ancora una volta come in una forma cosmica nella sua totalità. Questa possibilità qui si apre al pensiero.

Ora la cosa notevole è che la Geometria moderna ci dà la risposta proprio in questa direzione; eppure è solo metà della risposta! Perché in effetti lo spazio di Euclide - la forma di spazio che normalmente sperimentiamo - emerge dallo spazio libero e archetipico sopra descritto, quando tra tutti i piani di quest'ultimo ne individuiamo uno con una funzione speciale, per così dire cosmica. Ovviamente è il "piano infinitamente distante" (pagina 19 sopra). Nello spazio originale della Geometria proiettiva, la polarità di punti e piani funziona come un processo sottostante di "espansione e contrazione". Da questo spazio originario emerge lo spazio di Euclide quando postuliamo un unico piano, per così dire l'assoluto, la periferia infinita di tale spazio. È in relazione a questo, il piano unico o assoluto o cosmico dello spazio ordinario, che troviamo quindi la spiegazione più profonda delle simmetrie e delle misure che ci sono così familiari. Nella Figura (7) è raffigurato questo piano unico; da esso vengono estratte proiettivamente le forme cristalline del cubo e dell'ottaedro. Per il cubo e l'ottaedro nella Figura 8, questo piano sarebbe il piano infinitamente distante dello spazio fisico euclideo. (Si dovrebbe aggiungere che non solo questo "piano assoluto" o "piano all'infinito", ma una sorta di forma-cerchio archetipica al suo interno, il "cerchio immaginario all'infinito", è necessario per completare la transizione dallo spazio proiettivo libero allo lo spazio di Euclide. Questo fatto, come ho mostrato altrove, si accorda interamente con le concezioni qui spiegate; poiché l'idea del cerchio, non nella sua forma rigida ma nel suo aspetto libero e mobile come conica o quadrica, è il esito immediato delle polarità originarie di punto e retta e piano. Che cosa dunque di più naturale di quello tra tali forme si dovrebbe emergere come una sorta di cerchio archetipico, impresso nella forma cosmica dello spazio nella sua totalità?) (20)

Con l'immaginazione fisica non possiamo andare oltre! Possiamo al massimo distorcere questo spazio in una certa misura, come è stato fatto per le cosiddette "geometrie non euclidee". Ma ora possiamo prendere in considerazione l'idea che esista, di fronte allo spazio dell'immaginazione fisica, un altro spazio in cui le relazioni sono esattamente opposte - uno spazio in cui siamo confrontati non con un piano cosmico ma con un punto cosmico: non con una periferia infinita ma con un "centro infinito", se il paradosso può essere permesso. In un tale spazio le relazioni di forma e misura, invece di irradiarsi dai punti centrali ("origini" relative, come sono chiamate nella Geometria analitica) nella periferia infinita da ogni parte, lavorerebbero verso l'interno dagli ampi spazi, cioè, dalle periferie relative verso un unico "punto assoluto" o centro cosmico. In altre parole, dobbiamo concepire uno spazio che riceve il suo timbro e misura, non da un unico piano cosmico come "piano all'infinito", ma da un unico punto cosmico. In un tale contro-spazio o anti-spazio, un punto e non un piano, una qualità di centro e contrazione, non espansione, sarebbe "infinitamente distante". Tutte le condizioni di questo spazio, tutte le attività in esso si spenderebbero gradualmente verso l'interno verso questo punto centrale, proprio come nello spazio fisico si perdono gradualmente verso l'esterno nell'ampia distesa, nella circonferenza cosmica. I cerchi di linea nella figura 9 (anche se solo bidimensionali) richiamano alla mente una formazione spaziale periferica di questo tipo. (21)

È significativo che Rudolf Steiner descriva proprio in questi termini lo spazio in cui si svolgono le attività solari dell'universo, come ad esempio nel corpo eterico di un essere vivente e soprattutto nel "corpo celeste", come lo chiamiamo noi. , del Sole stesso. Cito ancora una volta un passaggio del citato corso-lezione sui diversi domini della Scienza in relazione all'Astronomia. "Ciò che è comunemente considerato la costituzione fisica del Sole non sarà mai veramente compreso con le idee che deriviamo dalla vita terrena. Naturalmente dobbiamo iniziare con i risultati della pura osservazione, che in verità sono eloquenti fino a un certo punto; ma dobbiamo cercare di penetrarli con idee che siano fedeli alla loro vera natura...

"Qui deve essere fatto il seguente tentativo. Possiamo iniziare immaginando qualche processo che ha luogo nella vita terrena. Lo vediamo fare il suo corso mentre seguiamo le indicazioni verso l'esterno da un punto centrale. Fa il suo corso in direzione radiale. Può essere una sorta di focolaio, come ad esempio un'eruzione vulcanica, o la direzione di una certa deformazione, come in un terremoto o simili. Seguiamo un tale processo sulla Terra nella direzione di una linea che va verso l'esterno dal centro dato. E ora, in contrasto con questo, puoi concepire che l'interno del Sole, come siamo soliti chiamarlo, è di tale natura che i suoi fenomeni non sono guidati dal centro verso l'esterno ma, al contrario, prendono il loro corso dal corona attraverso la cromosfera verso la fotosfera, non dall'interno verso l'esterno ma dall'esterno verso l'interno. Devi concepire, ancora una volta ... che i processi vadano verso l'interno e, per così dire, si perdano gradualmente verso il punto centrale a cui tendono, proprio come i fenomeni che provengono dalla Terra si perdono verso l'esterno in sfere in espansione, nel ampia distesa. Otterrai così un'immagine mentale che ti consentirà di portare una sorta di ordine nei risultati empirici...

"Solo quando entriamo così nell'aspetto qualitativo, solo quando siamo pronti, nel senso più ampio del termine, a dispiegare una sorta di matematica qualitativa, potremo compiere progressi essenziali ... Qui vorrei solo aggiungere che lì è una possibilità, in particolare per i matematici puri, di trovare il passaggio a una matematica qualitativa. In effetti questa possibilità esiste in larga misura nel nostro tempo. Dobbiamo solo considerare la Geometria Analitica con i suoi molteplici risultati in relazione alla Geometria Sintetica - alla reale esperienza interiore della Geometria Proiettiva. È vero, questo ci darà solo l'inizio, ma è un inizio molto, molto buono ... " La conoscenza derivata dalla Scienza Spirituale non è in alcun caso astratta e remota; ha sempre a che fare con una qualche realtà della vita. Quindi in questo caso. Ci avvicineremo all'idea di uno "spazio periferico" o contro-spazio che è stato qui suggerito, se ricordiamo come noi stessi in determinate fasi della nostra vita prima della nascita o dopo la morte viviamo in un altro tipo di spazio rispetto a la terra. Perché usciamo nell'etere cosmico e nei regni del Sole e delle Stelle. Poiché qui viviamo in un punto-centro - in uno spazio che ha inizio, per la nostra esperienza, dal centro dato dove si trova il nostro corpo terreno - così viviamo lì nella circonferenza, nella periferia. In una conferenza tenuta il 2 ottobre 1921, 22 Rudolf Steiner descrive l'esperienza interiore dell'essere umano dopo la morte con alcune parole come queste: "Il mondo cosmico che un tempo era alla periferia che ci circondava, lì sentiamo di essere entro; mentre d'altra parte, quello che un tempo era il mondo terreno su cui ci trovavamo, lo sentiamo d'ora in poi come il nostro mondo esterno centrico ... "Se è così, c'è davvero, anche nell'esperienza reale, una cosa come" mondo esterno centrico ": un mondo esterno, non diffuso intorno a noi come una circonferenza, ma in modo tale che noi stessi abitiamo l'intera circonferenza e guardiamo verso un centro come il nostro mondo esterno. Guardiamo nell'infinito, non come nell'ampia distesa di una circonferenza, ma piuttosto all'interno come in un centro cosmico.

Ma anche all'interno della Natura terrena, questo antispazio, questa qualità dello spazio simile al sole è attiva. Soprattutto per una conoscenza dettagliata del corpo eterico dell'uomo e di altre creature viventi, è importante sviluppare, non solo le idee di tale spazio, ma il corrispondente sentimento spaziale. In molti processi della natura, è questo tipo di spazio e forza spaziale che è all'opera. Inoltre per il corpo umano - anche il corpo fisico nella sua anatomia e fisiologia - questa polarità di spazio e antispazio diventa importante quando cerchiamo di comprendere in dettaglio quelle metamorfosi, quelle "rivoluzioni dentro e fuori", che conducono dagli organi di il sistema metabolico e degli arti ai corrispondenti organi del capo-uomo. Anche a questo proposito, Rudolf Steiner ha sottolineato quanto sarebbe necessario affrontare i problemi con l'aiuto della "matematica qualitativa". (Da qui la sua osservazione sui medici e sulla matematica superiore che abbiamo citato all'inizio.) Ora dal punto di vista della Geometria moderna è possibile elaborare la Geometria di un tale antispazio con piena esattezza. È noto che la geometria euclidea è già stata modificata nelle geometrie non euclidee, le cosiddette. Tali modifiche erano tuttavia principalmente una sorta di distorsione dello spazio di Euclide, senza alcun cambiamento molto radicale nelle sue qualità fondamentali. Qui d'altra parte, parlando in termini matematici, dovremmo sviluppare l'inverso diretto della geometria euclidea. 23 Dovremmo quindi colmare una lacuna di cui i matematici dei tempi moderni erano abbastanza ben consapevoli, a volte anche dolorosamente consapevoli. Avevano sperimentato per cominciare, nella Geometria proiettiva (quella che ho chiamato qui la geometria dello spazio originale o archetipico - in tedesco, Urraum) la polarità armoniosamente bilanciata di punto e piano. Da questa Geometria, lo spazio ordinario di Euclide è stato derivato come ho spiegato sopra, dall'ipotesi ideale di un piano unico o cosmico, il "piano all'infinito". Fin qui tutto bene. Ma la piena armonia delle reciproche relazioni fu così compromessa; perché nello spazio euclideo si aveva sempre a che fare con le relazioni con questo piano unico, e non esisteva un punto unico nello spazio che idealmente lo avrebbe bilanciato. Una certa unilateralità - del tutto inspiegabile, per cominciare, dall'aspetto del puro pensiero - si insinuò così nell'armonia meravigliosamente equilibrata che si era sperimentata per la prima volta nello spazio proiettivo. (24) Perché questa unilateralità? chiederà la mente che cerca. La soluzione di questo problema sarà trovata solo con l'aiuto della scienza antroposofica. Dobbiamo tornare ancora una volta, in effetti, all'essere umano, perché è lui, dopo tutto, che sta sperimentando tutti questi pensieri e immaginazioni. (25) L'uomo nella sua attuale coscienza normale è posto nel mondo dello spazio in modo tale da sperimentarlo in un modo terreno-fisico, vale a dire in modo centrico, puntiforme. Nel pensiero puro, la geometria moderna ha in qualche misura trasceso questo aspetto unilaterale con la scoperta dello spazio proiettivo o archetipico, in cui punto e piano, cioè il i poli ideali terrestri e celesti, sono pienamente bilanciati. E sarà un ulteriore passo per superare il punto di vista terrestre unilaterale, ora per dispiegare le nozioni di quello spazio che è esattamente opposto a quello fisico; che è unilateralmente celeste in altre parole, anche se questo è terrestre. (26) È importante percepire che le relazioni sono intrecciate. Se posso ricorrere ancora una volta a Goethe, non abbiamo solo a che fare con una polarità come "luce e oscurità", dove le polarità erano mescolate in un senso meramente esteriore. (Ciò risulterebbe in un grigio indifferente!) È quando l'oscurità agisce intrinsecamente, interiormente nella luce, e allo stesso modo la luce nell'oscurità, che nascono i colori viventi - giallo e rosso-arancio, viola e blu. Così anche noi dobbiamo capire le polarità dello spazio. È precisamente caratteristico dello spazio fisico, cioè lo spazio che sperimentiamo in un modo più centrico e puntuale, che riceve il suo timbro e la sua misura da un piano cosmico, da una periferia in altre parole, da un etereo e cosmico. entità. Questo è il vero segreto del nostro mondo. Ciò che risiede nelle profondità - vale a dire la pietra terrena, il minerale, il cristallo - ha la sua fonte di forma negli spazi più remoti del cosmo, nella luce celeste. O nel linguaggio tecnico dell'Antroposofia: è il minerale, che risiede nelle "profondità", che ha il suo corpo eterico o corpo di forze formative nelle "altezze", nella circonferenza celeste. (Anche il pensiero puro scopre questo fatto essenziale nella nozione del piano infinitamente distante dello spazio di Euclide; per lo spazio euclideo, lo spazio cartesiano è essenzialmente una forma-pensiero cristallina. (27)

Ancora una volta: lo spazio fisico o centrico ha una fonte essenziale della sua formazione nella periferia del mondo. E per gli effetti celesti, cioè per le forze eteree o periferiche (pagina 36 sopra) è vero il contrario. Le forze eteree sono precisamente quelle che dirigono la loro attività verso qualcosa di fisico che parla in modo più definitivo, verso qualche punto o seme germinante, sia che si tratti della Terra stessa nelle operazioni più macrocosmiche, sia che si tratti di uno qualsiasi dei miriadi di punti germinali viventi che si sviluppano nel regno terrestre e qui ricevono le forze celesti. L'etereo è sempre attivo nel mondo, fluendo dalle sfere cosmiche e dirigendo la sua attività verso qualche germe fisico o punto seme - verso un relativo centro mondiale. Il fisico invece esiste in forma finita, avendo ricevuto la sua formazione più o meno recentemente o in tempi primordiali dalla periferia eterea del cielo, dal "piano infinitamente distante" dello spazio fisico o terreno che occupa. Quest'ultimo processo dirigerà il nostro pensiero verso il passato. Il fisico esce dal dominio della "vita" e diventa semplicemente esistenza fisica, proprio in quanto il corpo eterico vivente si ritira nell '"infinitamente distante". Il primo processo invece riguarda il futuro. Gli spazi celesti dirigono le loro forze eteriche verso il punto germinale fisico che è la loro infinità; lo nutrono e lo sostengono da tutte le parti, poiché percepiscono in ogni punto germinale vivente qualcosa di potenziale del futuro cosmico. Se chiamiamo "spazio archetipico" o Urraum l'idea di spazio in cui gli elementi del passato e del futuro, della periferia celeste e del centro terrestre, cioè del piano e del punto, mantengono un perfetto equilibrio - in altre parole l'idea di "spazio proiettivo , "Descritto all'inizio: abbiamo le seguenti relazioni:

Spazio archetipico

Pura idea della Polarità del Piano e Punto Luce e Oscurità - Eterea e Fisica - Cielo e Terra


Spazio fisico (geometria euclidea)

Determinato da un Piano cosmico, in cui le ombre delle immagini divine primordiali, archetipi della creazione, riecheggiano nel passato.


Spazio etereo (geometria euclidea negativa)

Determinata da un Punto cosmico, che schiude una nuova realtà, portando in essa il germe e la promessa di un futuro cosmico.


Dobbiamo ricordare, applicando queste idee, che in realtà non abbiamo a che fare con uno spazio solo ma con un numero incalcolabile di spazi compenetranti: spazi eterei e fisici. Anche all'interno del fisico, non abbiamo uno spazio, ma come Rudolf Steiner ha spiegato una volta un numero incalcolabile. Perché in realtà ogni forma cristallina o tipo di cristallo nel mondo minerale ha il suo spazio, riempiendo l'Universo. (28) Lo stesso pensiero puro riconoscerà che è così, se le leggi conosciute della Cristallografia sono una volta interpretate, come meritano di essere, alla luce della nuova Geometria. Anche qui l'esperienza soprasensibile del mondo minerale nella sua vera essenza confermerà quanto suggerito dall'evidenza empirica e dal pensiero chiaro della Geometria. Così nel fisico abbiamo non solo uno ma un'infinità di spazi, tutti di tipo fisico. Nell'etereo sarà lo stesso. Ovunque nel mondo sorga un seme (cioè un seme o punto germinale nel senso più ampio), ovunque nell'elemento del calore meditabondo vivente un nuovo seme dell'esistenza fisica si sta preparando a ricevere le idee formative del Cielo, lì un etereo lo spazio si plasmerà attorno a questo punto centrale come alla sua infinità, al suo "Assoluto". Per la formazione della Terra vivente in evoluzione macrocosmica, il nucleo di fuoco della Terra deve aver agito in questo modo in ere incontaminate. Fedele a se stessa, la Terra vivente produce, nel ritmo ripetuto delle stagioni, miriadi di punti seme dei suoi regni viventi. Il processo di fuoco della nuova nascita viene rievocato in tutta la germinazione. (29)

III. Polarità rispetto alla Sfera

Dobbiamo ora sviluppare, per cominciare con il pensiero puro, le possibilità che sono implicite nell'idea di spazio etereo o antispazio. Nel corso successivo sarà estremamente essenziale preservare il giusto equilibrio tra pensiero ed esperienza. Non dobbiamo creare un altro ramo della "matematica applicata" nel senso abituale. Il punto è che sviluppando le forme-pensiero matematiche pure dello spazio etereo acquisiremo una nuova sensazione spaziale, e così facendo inizieremo a vedere le cose di nuovo. Sarò di nuovo in grado di risvegliare in noi stessi l'esperienza interiore dell'eterico, superando così la vecchia schiavitù mentale dell'aspetto spazio meramente fisico. È in questo modo che la nuova linea di pensiero fertilizzerà la nostra conoscenza della natura esterna e dell'essere umano. Cominceremo ancora una volta a vedere cose nuove e cose nuove.

Il nostro primo compito, quindi, è sviluppare la pura Geometria dello spazio negativo o etereo. Possiamo iniziare con l'esempio più semplice e naturale, vale a dire la superficie di una sfera. Cerchiamo di immaginarlo nel suo aspetto etereo oltre che fisicamente spaziale. (Descriverò il normale spazio euclideo, in quanto segue, come "spazio fisico". Ciò non significa che lo sperimentiamo fisicamente, sensualmente; è la forma dello spazio che corrisponde all'idea del fisico. Il tipo opposto dello spazio, che ora stiamo per studiare più in dettaglio, è l '"etereo".) Per cominciare, dobbiamo richiamare alla mente, alla luce della geometria moderna, le proprietà familiari della sfera come è nello spazio ordinario. La prima cosa ovviamente è che ha un centro. Nel momento in cui pensiamo a una "sfera", il nostro pensiero spaziale è centrato su questo punto. Ma il significato di questo punto, per lo spazio fisico, è solo relativo, relativo alla sfera data. Un'altra sfera avrà un altro centro. Ciò che ha un significato assoluto per lo spazio fisico in quanto tale non è un punto ma un piano, vale a dire il "piano all'infinito". In effetti, il centro della sfera data sorge solo dalla relazione di quest'ultima con il detto piano all'infinito, che è il "piano assoluto". Il centro è il "polo" del piano assoluto rispetto alla superficie data. Possiamo arrivarci come segue. Da qualsiasi punto scelto del piano all'infinito, in altre parole da qualsiasi punto infinitamente distante, tracciamo tutte le possibili linee tangenti alla superficie. Queste linee formeranno evidentemente un ciclatore, toccando la sfera in un grande cerchio, o relativo "equatore". Il piano del grande cerchio passa per il centro. Se lo facciamo per tutti i punti infinitamente distanti dello spazio, otteniamo tutti i piani per il centro. In altre parole, da tutti i punti del piano infinitamente distante si ottengono tutti i piani del punto centrale: dal piano dei punti, per così dire, un punto dei piani. La sfera genera in questo modo un completo ribaltamento dello spazio - non solo nel senso locale, in quanto l'esterno si trasforma nell'interno o la periferia nel centro, ma in un senso ancora più qualitativo: punti in piani , piani in punti. Allo stesso modo, ogni piano dello spazio, in relazione alla sfera, darà origine a un punto come il suo "polo" specifico (Figura 10). I punti relativamente vicini al centro sorgeranno da piani lontani nello spazio. Se immaginiamo un punto che viaggia lungo un raggio dal centro verso l'esterno alla circonferenza, il piano corrispondente viaggerà verso l'interno dalla periferia celeste per incontrarlo (Figura 11). Cominciando nel piano infinito, anche se il punto inizia al centro, il piano si muoverà verso l'interno parallelamente a se stesso, ad angolo retto rispetto al raggio in questione. Il punto nella sua parte esterna, il piano nel suo movimento verso l'interno, alla fine si fonderanno l'uno nell'altro quando raggiungeranno la superficie della sfera stessa, rispettivamente dall'interno e dall'esterno. Qui ora il punto diventa un "punto della superficie", mentre il piano diventa il corrispondente "piano tangente". Il punto e il piano tangente appartengono organicamente l'uno all'altro e all'organismo della sfera. Infatti la sfera - o qualunque altra superficie, del resto - diventa una superficie plastica solo in quanto consiste non solo di tanti punti, vale a dire i punti estremi dei suoi raggi in questo caso, ma allo stesso tempo di tanti piani . Non è solo formato dall'interno, radialmente e per così dire atomicamente come con un paio di compassi, ma è anche modellato plasticamente dall'esterno dal piano tangente, che proviene da tutti i lati dal piano del cielo, come una mano in movimento di luce, l'avvolge e la modella fuori dal cosmo.

Se, come indicato all'inizio (pagina 18), abbiamo imparato a sperimentare il piano nella sua totalità eterea, non faremo più obiezioni, come potremmo fare con l'immaginazione puramente fisica, che il piano tangente dopo tutto "solo appartiene alla superficie in un unico punto ", mentre il punto nella sua interezza si trova nella superficie. Percepiremo che il piano, etericamente parlando y, appartiene alla superficie interamente come il punto fisicamente. Saremo in grado di seguire questi pensieri fino alla loro conclusione logica in tutte le direzioni, e li troveremo più giustificati da ogni nuovo test che applicheremo. Naturalmente possiamo anche concepire il piano nel suo aspetto estensivo fisico come composto da infinitamente molti punti, ma se lo facciamo dovremo allo stesso modo pensare al punto come composto dalle sue parti eteriche, vale a dire i suoi infinitamente molti piani ( pagina 22) e troveremo la risposta corrispondente. Uno dei punti del piano estensivo "appartiene" alla superficie; così fa anche uno dei piani del punto.

Nella nostra concezione della sfera fino ad ora, due elementi distinti hanno avuto un ruolo. Primo, la polarità eterea e fisica - il "principio di dualità" che prevale nello spazio archetipico, come lo chiamavamo. Questo non determina ancora il tipo di spazio fisico (euclideo). Il fatto che la sfera riferisca ad ogni piano un punto specifico e viceversa, è un fatto archetipico dello spazio. L'idea-radice dello spazio, vale a dire la relazione polare di punti e piani, si esprime in virtù della sfera in una forma e qualità specifiche. Per riconoscerlo non occorre ancora pensare in termini euclidei; anzi, lo capiremo a malapena fino a quando non ci saremo liberati in una certa misura dalle idee dello spazio euclideo, come facciamo nella Geometria proiettiva. Ma c'era anche un secondo elemento nelle nostre considerazioni, vale a dire il piano assoluto o infinitamente distante che è la caratteristica dello spazio fisico. Dall'unicità di questo piano abbiamo derivato il punto che per la sfera data è corrispondentemente unico, vale a dire il centro come il polo del piano laggiù.

Passando dal tipo di spazio fisico a quello etereo, manterremo inalterate tutte le idee che erano dovute allo spazio archetipico puro e semplice. Solo l'ultimo elemento nominato - quello che determinava la varietà fisica unilaterale dello spazio - dovremo ora trasformarci nel suo opposto. Invece di un piano infinitamente distante o cosmico, dovremo ora concepire come nostra infinità un punto cosmico. Per semplicità, immaginiamolo per cominciare al centro della sfera. Detto questo, possiamo ora sviluppare l'idea della sfera dalla periferia verso l'interno, cioè y nel senso di spazio eterico. Tuttavia a questo punto deve essere fornita una spiegazione preliminare riguardo al metodo di descrizione. Quando descriviamo in dettaglio gli aspetti dello spazio eterico, all'inizio è un po 'difficile farsi capire senza confusione. Perché nelle nostre immagini mentali, almeno per cominciare, abbiamo ancora le forme dello spazio fisico. E i nomi abituali di forme e posizioni spaziali derivano tutti da quest'ultimo aspetto. Eppure desideriamo far evolvere nel puro pensiero l'idea di uno spazio che è precisamente opposto in qualità. Possiamo farlo solo superando l'aspetto fisico che più o meno automaticamente ci viene dato nelle nostre immagini mentali. Nonostante l'apparenza abituale di queste immagini, ora iniziamo a sviluppare una sensazione spaziale completamente diversa. (Possiamo descriverlo come "dinamico", poiché ciò che sentiamo come una qualità dinamica nel nostro senso estetico delle forme nella Natura e nell'Arte, è spesso molto vicino a questo aspetto eterico.) Tuttavia, per tutto il tempo siamo obbligati a usare espressioni preso in prestito dallo spazio fisico, che per lo spazio eterico non ha il significato che i nomi implicano. Dobbiamo fare riferimento, ad esempio, al "piano infinitamente distante". Nella totalità organica dello spazio archetipico è un piano tra gli altri piani. Tuttavia per lo spazio eterico il suo significato non è che sia infinitamente distante; al contrario, è più spesso nel mezzo - il mezzo periferico, se possiamo usare questo paradosso - il luogo di riposo periferico da cui partiamo. Tuttavia non possiamo che descriverlo all'inizio come il piano all'infinito nello spazio della nostra immaginazione. In quale altro modo dovremmo riferirci ad esso?

La difficoltà sta nella natura del caso. Poiché pensiamo in termini di Geometria e non la intendiamo in senso semplicemente astratto o simbolico, non possiamo che evocare immagini mentali definite. Sperimentiamo queste immagini per cominciare nel loro aspetto fisicamente spaziale: angoli retti come angoli retti, paralleli come paralleli, distanze uguali come uguali e così via. È nel superare questi aspetti ovvi che saremo spesso portati a vedere cosa è etereo. Tuttavia deriviamo i nomi proprio dall'aspetto che dobbiamo superare, poiché in questo aspetto hanno origine i nostri termini spaziali abituati. Con la coscienza quotidiana viviamo una volta per tutte nello spazio fisico; l'altro aspetto che dobbiamo acquisire con uno sforzo interiore. Per evitare malintesi, descriverò come lo "spazio della nostra immaginazione" o come l'aspetto "apparente", ciò che sperimentiamo nelle nostre immagini mentali per cominciare. Così l'espressione "il piano infinitamente distante della nostra immaginazione" ci riferirà al piano in questione, mentre allo stesso tempo le parole qualificanti suggeriranno che per l'argomento in un dato momento forse non è affatto "infinitamente distante" ma molto vicino e più accessibile.

Come esempio dell'esperienza dinamica delle forme, possiamo immaginare un cerchio (cioè un cerchio apparente) in uno spazio eterico in cui il punto cosmico non è del tutto al centro. Alla nostra immediata immaginazione visiva è un cerchio con un punto eccentrico. Per lo spazio eterico non è più affatto un cerchio; lo sperimenteremo dinamicamente come un'ellisse. Questo è letteralmente vero; non è solo un'ellisse in teoria, ma la sentiremo come tale una volta che saremo entrati nelle idee di spazio eterico per la forma in questione. Ciò che nello spazio fisico era la semplice differenza di posizione, cioè l'eccentricità, senza influenzare la forma in quanto tale, poiché lo spazio dinamico diventa un cambiamento qualitativo interiore della forma una volta che il punto eccentrico agisce come punto cosmico.

Al contrario, ciò che all'immaginazione fisica può apparire eccentrico o asimmetrico, in certe condizioni nella formazione dinamica dello spazio eterico diventerà concentrico e simmetrico (Figura 12). Le ellissi di Keplero delle orbite planetarie possono servire da esempio. Se concepiamo che il percorso planetario si trovi in ​​uno spazio etereo - la corrispondente sfera planetaria - di cui il punto cosmico è il centro del sole, il percorso del pianeta per tale spazio è un cerchio puro, sebbene fisicamente appaia come un'ellisse. A livello storico, questo non è poco interessante quando ricordiamo come anche Keplero abbia preso le mosse dall'idea tradizionale che i percorsi dei corpi celesti debbano essere basati sul cerchio puro. (30)

Nel mondo organico abbiamo spesso a che fare con forme disposte in strati più o meno eccentricamente attorno a qualche nucleo o nocciolo. Se immaginiamo che un tale processo sia stato realizzato etericamente - dalla periferia invece che dall'interno - si aprono possibilità del tutto nuove per l'interpretazione di tali forme viventi. (31)

Torniamo ora all'esempio della sfera nello spazio eterico: poiché abbiamo posizionato il punto cosmico nel centro apparente, la sfera apparirà come tale nel nostro spazio eterico oltre che in quello fisico. Infatti abbiamo scelto uno spazio eterico relativo allo spazio della nostra immaginazione nel modo più semplice possibile rispetto alla superficie data. Il piano che per la nostra immaginazione fisica è "infinitamente distante", è rispetto alla superficie in relazione polare al punto che è l'infinitamente distante dell'etere-spazio scelto.

Nello spazio fisico l '"interno" della sfera rappresenta un volume finito che potremmo riempire con qualsiasi sostanza. Nello spazio etereo è diventato infinito. Questa infinità raggiunge l'interno fino al punto cosmico, proprio come nello spazio ordinario la distesa infinita si estende verso la periferia celeste. Inoltre ora formiamo la sfera, non dal centro verso l'esterno come con un paio di compassi, ma dall'esterno, perifericamente, sfericamente. Per fare ciò, iniziamo non da un punto centrale ma dal piano corrispondente, il piano infinitamente distante della nostra immaginazione. Questo piano è ora diventato il "centro periferico" della nostra superficie, proprio come un punto era il suo centro fisico. E come nello spazio fisico potremmo immaginare un punto che va radialmente verso l'esterno dal centro in tutte le direzioni fino a raggiungere la superficie, così ora concepiamo un piano, che viaggia verso l'interno dal "piano medio" celeste fino a toccare la superficie. Se come piano partiamo dalla periferia (il "piano all'infinito" dell'immaginazione fisica), possiamo avvicinarci alla sfera da ogni direzione: dall'alto e dal basso, da destra e da sinistra, e così via. Il piano si muove verso l'interno, parallelo a se stesso: questa è la controparte eterica del punto che si muove radialmente verso l'esterno dal centro. Per ogni direzione parallela ci sono due vie diametralmente opposte verso l'interno dalla periferia celeste alla superficie. Un piano orizzontale, ad esempio, inizierà "all'infinito" sopra o sotto (è lo stesso "piano all'infinito" sopra di noi e sotto di noi!) E si avvicinerà alla superficie, muovendosi verso il basso in un caso, verso l'alto nell'altro . Ciò corrisponde al fatto evidente dello spazio fisico, che un punto che viaggia verticalmente verso l'esterno dal centro può raggiungere la superficie in una delle due direzioni opposte, verso l'alto o verso il basso. Otteniamo coppie di piani o punti diametralmente opposti della sfera (vedi Figura 11).

Il piano mentre arriva verso l'interno dalla circonferenza celeste da tutte le direzioni, modella e plasma la sfera dallo spazio eterico mentre la avvolge con ogni mano. Abbiamo descritto la tipica formazione eterica della sfera, in contrapposizione alla sua costruzione fisica.

Uno dei segreti più profondi dell'esistenza è alla base della piena analogia ma fondamentale differenza di qualità tra i due. Ha a che fare con il rapporto dell'uomo macrocosmico e microcosmico. Cos'è nello spazio etereo che corrisponde ai raggi nel fisico? Una duplice infinità di tali linee si irradia dal centro in tutte le direzioni. Ciascuna di queste linee incontra la superficie in due punti diametralmente opposti. Così anche nel piano eterico medio (il piano infinitamente distante dell'immaginazione fisica) abbiamo una duplice infinità di linee. Li vediamo intrecciarsi in tutta la sfera del cielo. Ognuna di esse è la linea comune che unisce il piano medio del cielo con due piani paralleli diametralmente opposti della superficie. (La Figura 13 può aiutare a formare l'immagine geometrica necessaria. Vediamo nella foto la linea comune di due piani che si incontrano nel finito. Consentire a questi due piani di trasformarsi in posizione verticale finché non diventano paralleli e la loro linea comune si sposterà verso l'esterno e si unirà nel piano all'infinito. Mantenendo il contatto con la sfera, i piani determineranno quindi due punti diametralmente opposti sulla sfera, la cui linea comune è un diametro della sfera. Sopra questo diametro o linea radiale della sfera c'è la linea comune dei due piani; ora è nell'infinito. Questa è la linea che unisce il piano all'infinito con i due piani paralleli diametralmente opposti della sfera.)

Così, per esempio, la linea orizzontale nel piano celeste è la linea comune o "sentiero etereo", che conduce da quel piano a tutti i piani orizzontali - verso il basso o verso l'alto, a nostro piacimento.

Così, per esempio, la linea orizzontale nel piano celeste è la linea comune o "sentiero etereo", che conduce da quel piano a tutti i piani orizzontali - verso il basso o verso l'alto, a nostro piacimento. Ancora una volta, dal piano celeste mediano ci sono due possibili modi per raggiungere la superficie in orizzontale. Ricordiamo qui ciò che è stato detto sopra (pagina 23): ogni linea nello spazio è membro non solo fisicamente nei suoi infiniti punti, ma etereo nei suoi piani. Così nello spazio eterico la linea è essenzialmente un "percorso", non per i punti che la percorrono, ma per i piani che hanno in essa il loro asse comune. (32) E se, come nel nostro ultimo esempio, la linea stessa è fisicamente parlando infinitamente distante, il movimento dei suoi piani appare come parallelo.

Ma non abbiamo ancora affrontato una questione essenziale. Come sappiamo che stiamo modellando con precisione una sfera, non un ellissoide per esempio, o una superficie più complicata? In altre parole, cosa c'è nello spazio etereo per corrispondere all'idea di distanze uguali lungo tutti i raggi dal centro, con quale idea differenziamo la sfera da tutte le altre forme nello spazio ordinario? La risposta a questa domanda ci farebbe conoscere un altro principio di forma supersensibile e matematico, che è all'opera non solo nello spazio fisico o eterico, ma già nello spazio archetipico (proiettivo) che ne è alla base. È impossibile esporlo completamente entro i limiti di questo saggio. Alcune spiegazioni si troveranno nel secondo capitolo, "La musica del numero" in Space and the Light of the Creation, e in Strahlende Weltgestaltung. 9 Qui posso solo dare la seguente breve indicazione. Nello spazio euclideo, il principio di forma a cui ci riferiamo ora appare in intima connessione con il Numero Tre (le tre dimensioni), con l'angolo retto, e con quel confronto di distanze in direzioni radiali con cui la sfera è normalmente definita. Possiamo ricordare a noi stessi quanto intimamente le forme del cerchio e della sfera siano legate alla forma dell'angolo retto; testimonia il teorema di Pitagora, gli elementi della trigonometria, le funzioni circolari, ecc. Un punto di spazio infinitamente distante, per la sua relazione con la sfera, dà origine come abbiamo visto ad un piano passante per il centro. Per la sfera, questo piano è sempre ad angolo retto rispetto al punto infinitamente distante. Questo è ciò che differenzia la sfera dall'ellissoide e da tutte le altre forme. Pensando a questo fino alla sua conclusione, vediamo i raggi in tre. Procedendo dal centro della sfera, vediamo tanti insiemi di tre raggi ad angolo retto l'uno rispetto all'altro. Ciascuna delle linee è ad angolo retto rispetto al piano contenuto dalle altre due. Questi sono i ben noti sistemi di assi cartesiani - per lo spazio fisico, il più naturale di tutti i sistemi di riferimento - e possiamo disegnarli in ogni direzione immaginabile dal centro dato. La sfera è infatti l'immagine perfetta, il prototipo a tutto tondo e finito di questa triplice croce delle dimensioni dello spazio. È correlato ai tre assi come il cranio è alla struttura umana.

Ora, per lo spazio etereo l'essenza della materia è che anche la sfera determina trinità di linee, non radialmente in un centro puntiforme, ma come linee celesti nel piano del cielo, nel "centro periferico". In effetti la sfera genera tanti triangoli rettangoli nel piano del cielo. Ogni triangolo di questo tipo è composto da tre fini e punti nel piano celeste, proprio come ogni sistema di assi cartesiani è composto da tre linee e piani nel centro terreno. Non solo i raggi nel centro terrestre ma le linee celesti nella periferia sono quindi collegati tra loro dalla sfera. (In astronomia pratica misuriamo i cieli apparenti per mezzo di tali triangoli ad angolo retto, come è ben noto).

Nella Geometria moderna dobbiamo comprendere questo principio di forma già in quanto opera nello spazio archetipico: vale a dire, non ancora nella forma rigida dell'angolo retto ma nel sottostante ritmo numerico; non nella forma finita del cerchio ma nei movimenti e nelle relazioni circolari; non nella sfera come forma specifica, ma nella potenza che circonda e racchiude che anche lo spazio archetipico contiene. 33 In effetti, le idee-radice dello spazio non solo conducono a un'eterna polarità dentro e fuori come tra le qualità terrene e celesti di punto e piano; conducono anche a un principio di arrotondamento e di chiusura che nasce e si mantiene tra questi poli, e trova la sua tipica espressione nella sfera perfetta. Matematicamente parlando, questo principio di arrotondamento e circonferenza è collegato al grande enigma dei "numeri immaginari" (radice quadrata di - 1). Ha il suo background spirituale concreto in quello che viene chiamato astrale. È un principio più aritmetico e musicale che spaziale, ma suona nello spazio in modo formattato attraverso tutti i ritmi del numero, che sono espressi in modo più bello in forme circolari. Nel mondo reale dell'etere questo principio si rivela nel cosiddetto etere del suono o etere chimico; "Etere di numeri", a volte viene chiamato.

La realtà soprasensibile a cui ci riferiamo qui vive allo stesso modo nel numero Tre. La trinità che trova espressione nei tre assi polari ad angolo retto, o nel corrispondente triangolo rettangolo nel piano del cielo, è nel fondamento del mondo spirituale lo stesso che si rivela nell'anima dell'uomo: il pensiero e il sentimento e volenteroso. Ci riferiamo qui alle spiegazioni di Rudolf Steiner sulle tre dimensioni del corpo e dello spazio stesso nella loro relazione con le tre forze dell'anima. Il triangolo corrispondente nella sfera celeste è descritto in una conferenza tenuta a Dornach l'1 aprile 1920. Questo è il mistero dell'Uomo macrocosmico e microcosmico, verso il quale ci stiamo avvicinando. Proprio come nella geometria pura non cogliamo completamente la sfera finché non siamo in grado di crearla non solo dal centro verso l'esterno come con uno strumento terrestre, ma dalla periferia cosmica verso l'interno, così è con l'origine spirituale di queste forme spaziali. La trinità sottostante è all'opera "come in alto, così in basso"; nella sfera cosmica delle stelle come nel regno delle direzioni radiali terrestri. (34)

La modellazione plastica della superficie da parte di un piano mobile, che abbiamo descritto sopra in termini di pura Geometria eterea, anche questa è l'ombra ideale di una realtà soprasensibile. Ciò non significa che le forze eteriche debbano essere oggetto di una scienza calcolatrice. Dobbiamo distinguere qui l'aspetto qualitativo e ideale della matematica, in cui trovano espressione le essenze spirituali di Forma e Numero, dal mero aspetto quantitativo. Nelle lezioni tenute all'Aia l'8 e il 9 aprile 1922, 36 sul rapporto dell'Antroposofia con le scienze e con le arti plastiche, Rudolf Steiner parla del contrasto stesso tra spazio fisico ed etereo di cui ci occupiamo qui. Descrive quest'ultimo come una sorta di "spazio di plastica". È lo spazio che uno scultore deve vivere: in verità, come mostra Rudolf Steiner, uno spazio molto diverso da quello euclideo. Ha parlato per cominciare delle tre dimensioni dello spazio fisico. Racconta come deriviamo la forma cartesiana dei tre assi o dimensioni dalla nostra esperienza corporea: come su e giù, destra e sinistra e avanti-indietro. Quindi prosegue descrivendo come possiamo attualmente sperimentare una forma corrispondente anche se più qualitativa nei Cieli, nella sfera delle stelle. E ora parla di uno spazio di forze - forze che procedono non da punti ma dalla sfera infinita.

"È il segreto di questo altro tipo di spazio che non possiamo prendere la nostra origine in un punto e collegare tutto a questo punto come nella Geometria Cartesiana; dobbiamo partire proprio dall'opposto. Qual è il contrario di un punto? È una sfera infinitamente distante, una sfera verso la quale dovremmo guardare approssimativamente verso l'alto come facciamo per il firmamento azzurro del Cielo (supponendo che quest'ultimo fosse realmente lì). Supponi che invece di un punto io qui avessi una sfera cava, in mezzo alla quale mi trovavo, e che ora io abbia collegato tutto ciò che è al suo interno a questa sfera cava. Invece di mettere in relazione le cose per coordinate con un punto come origine, dovrei determinare tutto in relazione a questa sfera vuota. . . " Qui il dottor Steiner indica in una forma più o meno pittorica come i poteri di quest'ultimo tipo di spazio agiscano verso l'interno. Dobbiamo immaginarlo mentre fa uno schizzo alla lavagna mentre continua:

"Il tipo di spazio che otteniamo così non può essere adeguatamente descritto in termini di mere tre dimensioni. Trovando la nostra strada verso l'interno dal cielo stellato alla concezione di un altro tipo di spazio, otteniamo uno spazio che posso indicare solo in forma di immagine. Proprio come dovevo simboleggiare il primo tipo di spazio con le tre linee perpendicolari, così avrei dovuto indicare quest'ultimo spazio disegnando su tutte le mani alcune di tali configurazioni; è come se ci fossero superfici o piani di forze provenienti dall'Universo da tutti i lati che si avvicinano alla Terra, e da senza lavorare plasticamente sulle diverse regioni della superficie terrestre.

"In effetti arriviamo a tale nozione quando iniziamo ad andare oltre ciò che può essere visto degli esseri viventi, e soprattutto dell'uomo, con gli occhi fisici - cioè y per mezzo dei sensi fisici - che vedono il corpo fisico. Quando siamo andati oltre e abbiamo raggiunto ciò che ora sto descrivendo come `` Immaginazione '', dove al posto dell'uomo fisico l'Universo inizia ad aprirsi a noi in forma pittorica ea darci un nuovo tipo di spazio - quando avanziamo a questo, riconosciamo quello che in realtà è un secondo corpo dell'essere umano, che una chiaroveggenza intuitiva dei vecchi tempi chiamava il 'corpo eterico' e che noi stessi, come ho detto poc'anzi, potremmo chiamare piuttosto il 'corpo di forze formative. "È un corpo soprasensibile, fatto di sottile sostanzialità eterea e permea il corpo fisico dell'uomo. Studiamo il corpo fisico abbastanza veramente quando guardiamo nello spazio che occupa per le forze che lo pervadono. Ma in questo tipo di spazio non possiamo mai studiare il corpo eterico, o corpo di forze formative, che nondimeno opera attraverso e attraverso l'essere umano. Possiamo studiarlo solo quando percepiamo come è formato dall'intero Universo; quando percepiamo come da tutti i lati queste superfici o piani di forze viventi si stanno avvicinando alla Terra, avvicinandosi anche all'essere umano, e dall'esterno stanno plasticamente formando il corpo eterico "È notevole come parla Rudolf Steiner, nei passaggi che ho qui in corsivo, di superfici o piani di forze: di un lavoro plastico, piano, dell'etere dalla periferia celeste. Questa è precisamente la qualità che abbiamo trovato nella pura idea matematica di spazio eterico. "Piano" è l'idealizzazione matematica di questa qualità eterea, che lavora su superfici cosmiche di forza, anche se "punto" è la forma matematica ideale del fisico e del terreno. Considerando il mondo delle piante, possiamo dire: il piano è foglia, mentre il punto è seme o occhio. 36 Quando la pianta si apre e si espande nella foglia, rivela l'elemento simile al sole; quando si contrae nel punto o seme, rivela il terreno (confronta l'altro passaggio citato da Rudolf Steiner, pagina 27). Molte forme e forme organiche nella Natura vivente - nell'embriologia e in altre sfere - si presteranno a spiegazioni molto più penetranti una volta che saremo completamente pervasi dalla verità che lo spazio in quanto tale ha origine non solo nel punto ma nel piano; che è costruito non solo esternamente e ampiamente come da un punto di partenza fisico e terreno, ma interiormente, intensamente, dall'etereo e dal celeste.


IV. Forze e sostanze fisiche ed eteree

Ora elaboreremo questa polarità per quanto riguarda le sostanze e le forze viventi. Troveremo così un nuovo accesso ideale alle sostanze e alle forze eteree, come sono note alla Scienza Spirituale. Lo spazio euclideo è come un vaso o un contenitore per la sostanza fisica, cioè il materiale. È l'essenza della sostanza fisica così come la conosciamo che occupa un certo spazio. Quando lo spazio contiene invece sostanza eterica, il nostro senso spaziale (essere fisico) lo percepirà piuttosto come uno svuotamento, anzi, uno svuotamento dello spazio. Questo è esattamente ciò che il Dr. Steiner descrive per l'interno del Sole (vedere la citazione, pagina 34). Saremo condotti a questa idea con perfetta chiarezza e evidenza, e troveremo confermato ciò che Rudolf Steiner dichiarò frequentemente nelle lezioni scientifiche: che l'eterico trova espressione quando nelle formule fisiche trasformiamo il positivo in negativo, purché facciamo questa sostituzione. non solo quantitativo ma veramente qualitativo. Arriviamo così al vero concetto di materia negativa: sostanza negativa. Questo per quanto riguarda l'aspetto sostanziale. Parlando di forze nel mondo dello spazio, la polarità fisico-eterea troverà espressione in un certo senso come "Luce e oscurità". Proprio come ogni punto della materia tende verso il centro terrestre, così ogni piano etereo tende verso l'esterno al piano del cielo. E poiché chiamiamo la prima tendenza gravità o pesante, possiamo chiamare la seconda la luce intrinseca dell'etereo. Pesantezza, gravità da una parte, leggerezza dall'altra, sono i veri opposti. (37) Questi due sono tenuti in equilibrio quando un'entità eterea - un corpo eterico - è organicamente unita a un fisico, cioè il corpo fisico di un essere vivente. Non solo la materia fisica del corpo viene sollevata, nonostante la forza di gravità, verso il cielo; l'etereo è allo stesso tempo trattenuto nel regno della vita terrena, frenato dalla sua costante fame di altezze celesti. Quando la creatura vivente muore, la sostanza fisica del corpo si disintegra e cade sulla terra; l'etereo svanisce nelle altezze. Questa scomparsa dell'etereo non deve essere pensata in un modo fisicamente spaziale o puntiforme (come un pallone ascendente) ma in un modo veramente periferico. Il corpo eterico svanisce nella periferia, nella circonferenza del cielo nel suo insieme. Si libra nell'ampia distesa. A questo proposito, vedi le lezioni profondamente significative di Rudolf Steiner sulla luce e la gravità (9 e 10 dicembre 1920, stampate nella serie sulla teoria del colore). (38)

Queste nozioni elementari di forza e sostanza eterica possono ora essere illustrate dal nostro esempio della sfera. L'illustrazione è molto naturale, poiché la sfera di tutte le forme è quella che mantiene l'equilibrio più perfetto tra il fisico e l'etereo. Così Rudolf Steiner una volta lo descrisse come la sfera zero o nulla nella transizione dallo spazio positivo a quello negativo e viceversa. (39) Va tenuto presente, tuttavia, in quanto segue che abbiamo notevolmente semplificato l'esempio scegliendo il nostro punto cosmico e il nostro piano cosmico concentricamente rispetto alla sfera data (cfr. Pag. 45). Se non lo facciamo, la forma della sfera per lo spazio fisico non coincide più con la forma corrispondente per l'etereo. Il "mezzo periferico" di una sfera eterea non è più il "piano all'infinito" dello spazio fisico, ma lo vedremo come un altro piano. In altre parole, la sfera eterea non è più perifericamente centrata nella periferia assoluta dello spazio cosmico ma in qualche altra, in una relativa periferia. Comprendiamo l'espressione di Rudolf Steiner, "forze che hanno, non un centro, ma una periferia" (vedi la citazione, pagina 30) - cioè un individuo, una relativa periferia.

Sarà molto importante per la geometria dell'etereo pensare chiaramente questi casi più complicati, perché allora percepiremo come l'etereo può costruire molteplici forme e può quindi lavorare creativamente nel fisico, vale a dire i corpi fisici degli esseri viventi, che come sappiamo sono plasmati dall'etereo. La forma altamente matematica di molti fiori, per esempio, può incoraggiarci a sviluppare questa geometria di forme eteriche. Ma ci vorrebbe troppo tempo per farlo qui; Spero di risolvere alcune di queste cose in una pubblicazione successiva. (40)

Immaginiamo ancora una volta la nostra sfera nello spazio fisico e concentriamoci questa volta sul volume che contiene. È un volume puntuale, come abbiamo detto prima. Sono tanti millimetri cubi; se lo "integriamo", lo costruiamo di spazi infinitesimali, svanendo infine in punti. Analogamente, il volume etereo della sfera - cioè tutto il resto dello spazio, con l'eccezione dell'interno fisico che è etereo "svuotato" - sarà composto di piani, o elementi di volume simili a piani. (41)

Proprio come un punto all'interno della sfera può muoversi liberamente da un punto all'altro dell'interno fisico, così un piano può muoversi liberamente nello spazio esterno rimanente, che per il pensiero etereo è l'interno. Il centro geometrico della sfera è allo stesso tempo il centro del volume fisico finito che è isolato dallo spazio esterno dalla superficie della sfera. Allo stesso modo, il "piano all'infinito" costituisce il centro periferico di una sfera eterea, anch'essa di volume finito. Questo volume etereo si estende dall'esterno verso l'interno. Quello che siamo soliti chiamare lo spazio interiore è di fatto svuotato. Lo spazio che si estende dall'infinito (dall '"infinito" dello spazio fisico, vale a dire) alla superficie è per lo spazio etereo il contenuto finito; lo spazio che si estende dalla superficie verso l'interno fino al punto cosmico - finito all'apparenza fisica - è l'infinità dello spazio etereo. Si ottiene così l'idea precisa di uno spazio riempito negativamente. Ciò che è fisicamente lo spazio infinito e vuoto al di fuori della superficie - la totalità dello spazio, meno la sfera finita all'interno - è etereo il volume finito. Al contrario, ciò che è fisicamente il volume finito è etereo lo spazio vuoto cavo; il vuoto infinito verso il punto cosmico, che rimane finito quando viene sottratto il volume etereo finito.

Pensiamo ora ai processi corrispondenti in questo spazio e in questo anti-spazio. Pensiamo, per esempio, a un effetto fisico che si irradia da un centro; qualche manifestazione di forza fisica o energia che ha la sua sorgente nelle vicinanze del centro dato. Andrà verso l'esterno in sfere in espansione. Più si allontana, più diventa attenuato. Va verso l'esterno dal punto e "si perde nell'ampia distesa" (pagina 35). L'opposto sarà vero nello spazio etereo. Nel mezzo etereo, cioè nella sfera infinita del Cielo, possiamo concepire la fonte di qualche influenza eterea. Lascia la sua dimora celeste e lavora verso l'interno in sfere sempre più vicine al punto cosmico. Più piccolo è il raggio dell'apparenza fisica, maggiore diventa la sfera eterea nella realtà. Il processo cresce nell'infinito quando raggiunge il punto cosmico. È un processo che "si perde verso il punto centrale a cui tende", proprio come se una sfera fisica, crescendo verso l'esterno, si perdesse nella periferia infinita. Comprendiamo il punto cosmico non più come punto zero ma come infinito, immensità; nella paradossale ma vera espressione di Rudolf Steiner, è un "punto che ha l'area di una sfera infinita, che gira verso l'interno".

La geometria moderna ci consentirà di sviluppare queste idee in tutta esattezza. Così possiamo indicare le misure apparenti di una crescita eterea e interiore. Per lo spazio etereo il punto cosmico è esso stesso l'infinito. Quindi una crescita eterea interna uniforme apparirà fisicamente come una congestione graduale verso questo punto, proprio come gli alberi * che vediamo nell'immagine prospettica di un viale diventano apparentemente congestionati verso l'orizzonte infinito. In realtà è lo stesso tipo di congestione dei punti di fuga di una prospettiva, solo da tutti i lati contemporaneamente. Vediamo le sfere di influenza crescere verso l'interno in cerchi sempre più stretti; tuttavia, con una sensazione spaziale eterea, non lo percepiremo come un avvicinamento crescente, come una congestione, ma come una crescita senza fine in fasi uguali. Le misure precise sono le seguenti. Se, per cominciare, una sfera cresce fisicamente verso l'esterno in passi uguali e assegniamo al primo stadio un raggio di lunghezza unitaria, al secondo stadio la lunghezza è 2, al terzo stadio 3 e così via. Si ottiene così la serie di distanze radiali crescenti in modo uniforme a partire dal centro:

0, 1, 2, 3, 4, 5, ...,

lo 0, ovviamente, riferito al centro. Prendi ora una sfera eterea che cresce verso l'interno e lascia che anche questo processo avvenga etereo in stadi ritmici uguali. Se chiamiamo 1 il raggio apparente della sfera che si ottiene al primo passo (cioè il raggio dal centro della matrice, dal punto cosmico verso l'esterno, non l'ideale ma il raggio apparente), allora il raggio apparente al passo successivo di la crescita verso l'interno sarà £, nella terza fase J, e così via. All'origine eterea dell'intero processo - alla periferia celeste da cui partiamo - il raggio fisicamente apparente è infinito. Otteniamo così la sequenza delle misure apparenti:

I* • • •

Ma l'apparente congestione è ancora maggiore. Perché dobbiamo prima sottrarre queste cifre l'una dall'altra per ottenere le misure dei passaggi successivi. Ciò che per lo spazio etereo - cioè, idealmente e veramente - sono i gradini uguali (i, i, I, ...) nel fisico appariranno come le serie congestionate:

OO, z> £> 1 * 2> - £? >> • • •

Per inciso, si può osservare che in questo caso più semplice il tipo fisico di crescita può essere trasformato in etereo dalla ben nota trasformazione polare-reciproca. (42) Ogni punto si trasforma rispetto all'unità-sfera nel corrispondente piano polare e viceversa (cfr. Pagina 42). Quindi, per il 2 otteniamo per il 3 e così via. È una specie di riflesso tra i numeri, la cui essenza è che il nulla si rispecchia nell'infinito e l'infinito nel nulla. Anche spiritualmente, questa mutua trasformazione di 0 e 00 è la vera immagine del passaggio dalla sfera infinita del Cielo con i suoi archetipi divini e cosmici, al centro della Terra come seme cosmico. Quest'ultimo per cominciare è il nulla, ma riceve a nuova vita ciò che sta morendo nelle sfere cosmiche. Possiamo ricordare le famose parole di Faust: "In deinem Nichts hoff 9 ich das All zu finden."

Pensiamo ora a un processo interiore etereo con uno slancio di gran lunga maggiore. Invece di crescere uniformemente verso l'interno - poiché l'apparenza fisica è congestionata verso il punto cosmico, che con questa crescita uniforme e finita non può mai raggiungere - lascia che cresca sempre più velocemente verso l'interno verso l'infinito, finché alla fine raggiunge la sua infinità, il punto cosmico stesso. Comprendiamo il punto cosmico come una sfera eterea divenuta infinita. Lo sentiamo non più nel suo aspetto banale come un punto fisico morto, ma per citare ancora una volta le parole di Rudolf Steiner, come un punto che ha l'area di una sfera infinita. Nella sua eterea infinità è tessuto di molti piani. Come nella sfera celeste per gli occhi fisici ci sono gli innumerevoli punti delle stelle, così nel punto cosmico ci sono innumerevoli piani, che lo intrecciano. Se questo è mai un vero processo nella Natura esterna - in altre parole, se nel punto cosmico di un tale spazio eterico c'è un germe vivente, un destinatario fisico è lì - il momento in cui la sfera eterea, cresciuta all'interno, si illumina su questo punto, significherà per il fisico un nuovo inizio. Da un altro mondo - dagli spazi eterei verso l'interno - sono sorti nuovi poteri di creazione. È una nuova nascita nel mondo fisico. Il fuoco o il calore si irradieranno ad esempio in questo punto, verso l'esterno negli spazi fisici circostanti. E da questo momento in poi avremo ancora una volta una radiazione fisicamente spaziale del tipo abituale, che a sua volta "si perderà nell'ampia distesa". Questo è un processo simile a quello che avviene sulla punta crescente di ogni pianta. (La Figura 14 è Euphorbia Wulfenni, un'immagine microscopica.)

Possiamo immaginare quest'ultimo processo a sua volta andare verso l'esterno nell'infinito, finché non raggiunge il piano cosmico e viene nuovamente trasformato in un'attività eterea che opera ancora una volta all'interno. Dove il fisico si perde nell'infinito nasce l'etereo e viceversa. Arriviamo così all'idea di un ritmo non solo esteriore ed estensivo ma qualitativo: lo spazio-etere che si perde nel fisico, il fisico così sorge ea sua volta si perde nel vasto cosmico, per la nuova nascita di un etereo ancora una volta. Tali possibilità sono il risultato del tutto naturale dell'idea di spazio e anti-spazio. Il pensiero non è più vincolato a uno spazio rigido una volta dato all'interno del quale sarebbero possibili solo movimenti estesi. Concepiamo processi la cui essenza sta nel divenire e sconvenire degli spazi, nella creazione degli spazi e nel loro annichilimento. Rudolf Steiner una volta descrisse l'essenza del calore o del calore come un "movimento intensivo" in questo senso. Quando, ad esempio, come in una fiamma, le forze chimiche si attivano e danno origine al calore, potremmo avere questo tipo di processo. L'azione chimica è non in verità contenuta entro i limiti dello spazio fisico. (43) È un improvvisato temporaneo quando lo rappresentiamo con i nostri simboli fisicamente spaziali: atomi e molecole, formule strutturali e così via.

Per la comprensione del calore vivente in opposizione al calore morto, sarà molto significativo concepire questo lavorare verso l'interno da spazi eterei e sgorgare di nuovo all'interno del punto. Molteplici qualità ed elementi della forma possono essere all'opera in questo processo; il concetto di sfera non è che la matrice, per così dire, in cui si possono differenziare tutti i tipi di effetti di questo tipo. Con l'idea di spazio e anti-spazio come qui si è evoluta, abbiamo accesso a processi come Rudolf Steiner ha spesso descritto dalla sua Scienza Spirituale. Come sono queste cose nella realtà, solo l'esperienza può dirlo, sia attraverso un esperimento esterno che mediante un'indagine soprasensibile. Ma in entrambi i casi è importante la giusta formazione delle idee.

È un bellissimo esercizio di pensiero, immaginare il suddetto processo: il lavoro verso l'interno di una sfera eterea da distanze cosmiche, la sua fusione nel punto centrale come sua infinità, l'improvvisa inversione qualitativa, dove il punto cambia in funzione dall'infinità eterea all'inizio di una nuova esistenza fisica e, a sua volta, emette una sfera fisica in espansione, finché quest'ultima non raggiunge nuovamente la sfera del cielo e di nuovo avviene un cambiamento qualitativo - questa volta nella direzione opposta - e un nuovo etere -sfera ancora una volta cresce verso l'interno...

Secondo il dottor Steiner, i processi nella natura reale, ad esempio le radiazioni di luce e calore e altre forze, non si perdono in un vago infinito ma escono solo in una certa sfera e poi ritornano in se stessi, trasformati in qualità. Dall'aspetto dello spazio e dell'anti-spazio possiamo immaginare bene questo tipo di ritmo qualitativo.

Soffermiamoci ora per un momento sul contrasto elementare delle forze fisiche ed eteree o, come le chiamavamo tipicamente, "Gravità e Luce". Ancora una volta la sfera servirà da illustrazione. Una sfera di materia fisica rivela la sua natura essenziale in forze di pressione. La gravità ha una tendenza alla contrazione. Ogni particella di materia tende verso il centro, cioè il "centro di gravità" del tutto. Quindi, se solo questa forza fosse all'opera, l'intera sfera cadrebbe finalmente nell'unico punto. Ma c'è un'altra proprietà, ugualmente caratteristica della materia fisica, vale a dire la sua "impenetrabilità". Ogni particella mantiene lo spazio che occupa. Così come forza di contrasto abbiamo l'elasticità, il potere di sostegno, che "cede" un po 'ma alla fine resiste alla pressione di trascinamento verso l'interno. A seconda del peso specifico e della specifica tendenza o elasticità di affermazione dello spazio del materiale in questione, si crea un certo equilibrio nel gioco di pressione e contropressione.

Al di là di questo possiamo ora evolvere, per cominciare con il pensiero puro, l'idea di una sfera eterea di sostanza. Abbiamo già visto che è riempito, non dall'interno verso l'esterno ma dalla periferia cosmica verso la superficie. Il suo centro etereo non è un centro di gravità ma il piano di luce del Cielo. Inoltre è formato da piani, non punti. Ciascuno dei suoi piani tende a ritornare come con una sete di luce alla periferia celeste. Quest'ultimo non è solo il centro geometrico; è il centro periferico delle forze della sfera eterea. Proprio come il corpo fisico ha il suo centro dinamico in un "centro di gravità", così il corpo etereo ha il suo centro dinamico in un "piano di luce" medio, o leggerezza. 37 Quindi arriviamo al concetto di "peso negativo": gravità negativa. Non preme la sfera della sostanza verso l'interno; fa schifo o tira verso l'esterno. Ma la natura sostanziale della sfera eterea le conferisce allo stesso modo una sorta di qualità di mantenimento dello spazio, sebbene negativa invece che positiva. Contiene forze che resistono al rapido ritorno di tutte le sue parti nel piano del cielo. Proprio come la materia fisica mantiene lo spazio che occupa mediante forze elastiche che trasportano verso l'esterno, così lo spazio etereo mantiene il suo spazio sostenendo forze interne. Vive nell'equilibrio del suo riempimento di spazio negativo e della sua gravità negativa. Otteniamo così con piena esattezza l'idea delle forze di aspirazione qualitativamente. (Le forze di aspirazione della meccanica ordinaria sono solo pressioni metamorfizzate. Le forze di aspirazione a cui ci riferiamo qui sono dall'inizio qualitativamente diverse, anche nella loro relazione con lo spazio.)

In una tale sfera eterea, se come conseguenza di un eccessivo "riempimento negativo dello spazio" dovesse avvenire una scarica improvvisa, per così dire un'esplosione, questa agirebbe verso l'interno attraverso la superficie della sfera verso il punto cosmico. Sarebbe proprio il l'opposto di ciò che accade nei vulcani fisici della Terra. Queste sono le forme di pensiero che Rudolf Steiner richiede nell'interpretazione dei fenomeni solari (pagina 34 sopra). Ma sono importanti anche all'interno dei regni terreni della Natura, poiché anche qui è all'opera la qualità del sole. Così, per esempio, il dottor Steiner ci ha detto come un elemento simile al sole è all'opera nell'essere umano, in tutte le sensazioni o percezioni sensoriali. Nel senso del tatto, ad esempio, diventiamo consapevoli della pressione dei corpi fisici da soli. Il nostro corpo etereo risponde alla pressione con corrispondenti forze di aspirazione. La sensazione nasce in questo gioco di forze. Cito ancora dalle suddette conferenze sul rapporto dell'Astronomia ai diversi rami della Scienza:

... Questa forza di suzione, anche se procede dal Sole, agisce anche nell'essere umano, permeando il suo corpo eterico dall'alto verso il basso. Nel corpo umano quindi, due Sono all'opera entità opposte: solari e terrene. Dovremmo essere in grado di dimostrare in dettaglio che queste cose ci sono, e possiamo farlo, una volta che diventiamo consapevoli delle vere interpretazioni ... Se premo qui con il dito, sorgerà su questa superficie la forza di pressione per cui questa materia ponderabile preme contro di me. La contropressione corrisponde alla forza del Sole che agisce attraverso di me, cioè attraverso il mio corpo eterico. Immagina qui una superficie che preme contro l'essere umano - o contro cui l'essere umano preme - e hai il lavoro delle forze ponderabili e imponderabili. È l'interazione tra la pressione ponderabile dall'esterno verso l'interno e l'imponderabile dall'interno verso l'esterno, che dà la sensazione cosciente di pressione. Se lo percepiamo chiaramente, possiamo veramente dire che la polarità del Sole e della Terra, in mezzo alle quali è posto l'essere umano, è realmente percepita da noi in ogni percezione sensoriale ".

Infine, attirerò l'attenzione su un aspetto dello spazio etereo che non sarà irrilevante per la comprensione degli effetti omeopatici. (44) Abbiamo appena parlato della crescita fisica esteriore e della crescita eterea interiore di una sfera. Capovolgiamo il pensiero e immaginiamo una sfera fisica che diminuisce di grandezza, restringendosi verso il suo centro. Se contiene sostanza fisica, quest'ultima si concentrerà, poiché la stessa quantità è ora distribuita su un volume sempre più piccolo. E il corrispondente processo etereo? La sfera si attenua, si "ritira verso l'esterno" (fisicamente, e quindi paradossalmente parlando). Esternamente cresce di dimensioni, ma la crescita apparente non è reale; infatti la sfera eterea sta diventando più piccola. Diventa sempre più vicino alla sfera celeste, il suo piano mediano.

Se abbiamo praticato l'idea di spazio etereo, saremo presto in grado di sentire due processi in modo abbastanza diverso, sebbene possano coincidere nell'aspetto spaziale esteriore. Esternamente, ad esempio, c'è uno spazio sferico che diventa sempre più grande. Se concepiamo fisicamente, lo sentiremo veramente come una crescita. Ma se lo pensiamo come un processo etereo, lo sentiremo come un crescente-più piccolo, una contrazione periferica nel piano celeste, che è etereo parlando la "sfera delle dimensioni infinitesimali".

Proprio qui si vedrà quanto sia necessario trovare la vera idea per qualsiasi processo in Natura, invece di applicare ciecamente idee che dopo tutto possono essere estranee all'essenza di esso. Pensa a uno spazio reale, ad esempio un pallone sferico, riempito con un fisico sostanza, diciamo una soluzione acquosa. Se applichiamo le solite idee fisiche dello spazio, diremo: "Se rendiamo lo spazio più piccolo, diciamo evaporandolo verso il basso, la soluzione diventerà più concentrata, e mentre la concentriamo l'azione della sostanza sarà diventare più intenso. " È il più ovvio possibile.

Come sarà, d'altra parte, se la suddetta sostanza fisica è unita a qualcosa di etereo - se per esempio come essenza vegetale è collegata alla vita, o come un sale metallico con la vita cosmica dalle ere incontaminate della Terra. Nella misura in cui qualcosa di fisico è presente come portatore di vita eterea, agirà come la Terra stessa nella sua relazione con le forze celesti. Vale a dire, agirà in modo germinale, nel senso più ampio del termine che abbiamo spiegato all'inizio. Una sfera di forze eteriche ha il suo "punto cosmico", la sua "infinità", nel dominio di questa porzione di sostanza fisica. Ovunque trasportiamo quest'ultimo, la sfera eterea lo accompagna. La cosa essenziale di questo volume fisico relativamente piccolo non è il fisico in quanto tale, ma la sfera eterea che porta con sé. Quest'ultimo è unito alla sostanza fisica, che un tempo era l'obiettivo della sua attività. Non l'ha ancora lasciato, perché se lo avesse avuto la sostanza sarebbe morta e non sarebbe più utile per l'effetto in questione. Cosa succede ora quando diluiamo la sostanza fisica? Ci concentriamo davvero (sebbene l'espressione sia contraddittoria), cioè intensifichiamo la sfera specifica della forza e della sostanza eterea che è unita a questo fisico. Quindi è del tutto intelligibile - anzi per lo spazio etereo altrettanto evidente quanto l'opposto per condizioni puramente fisiche - che a forza di diluizione fisica possiamo generalmente rendere più forte l'influenza eterea. Questo è precisamente il principio delle diluizioni omeopatiche, che per il nostro pensiero fisico sono da tanto tempo motivo di offesa. Sembrano assurdi fintanto che le persone amano le forme pensiero che appaiono con una logica incontrovertibile per dimostrare la loro inutilità. Naturalmente ci sono altri che, nonostante tutte le obiezioni teoriche, si lasciano convincere dai fatti dell'esperienza.

Anche qui è molto importante che rivolgiamo i nostri pensieri nella giusta direzione e sviluppiamo soprattutto la giusta sensazione spaziale. Il punto non è, mediante una semplice trasformazione polare, tradurre automaticamente tutte le idee fisicamente spaziali o anche meccaniche nel loro opposto e sviluppare la geometria eterea nello stesso modo analitico, indifferente e meramente causale in cui il fisico è stato troppo spesso trattato. La trasformazione polare riflette davvero un fatto della Natura, anzi una verità archetipica del nostro Universo; su questo non ci possono essere dubbi. Tuttavia dovrebbe essere usato con attenzione; non dobbiamo ricadere nei vecchi errori dogmatici. Il nostro scopo a questo riguardo, per quanto riguarda il pensiero puro, dovrebbe essere che la polarità degli spazi fisici ed eterei ci possa insegnare a considerare il primo in un modo più vivo, non a sviluppare il secondo con tutto il vecchio intellettualismo. La natura stessa del caso ci guiderà bene, se non facciamo troppo della mera intelligenza formale e speculazione. Perché in questo regno non abbiamo più a che fare con uno spazio pronto e rigido, ma con il nascere e il morire di spazi nel gioco degli opposti. In questa venuta e passaggio di spazi agiranno anche influenze puramente spirituali. Lo spazio non è più un sistema chiuso in se stesso.

Il nostro ultimo esempio può illustrare questo punto. Per gli effetti eterei è significativo che l'azione intensificante - cioè l'apparente diluizione fisica - non avvenga in modo indifferente ma con un certo ritmo; ciò che viene chiamato "potenziamento". Un certo elemento di tempo e numero è importante. (46) Anche se non potremmo predire dalla teoria spaziale che deve essere così, tuttavia possiamo ben apprezzare il fatto, poiché ci ricorda quella visione più profonda che in gran parte ha mostrato l'inizio di questo modo di pensare.

La polarità fondamentale del Cielo e della Terra è la controparte spaziale di un mistero del Tempo. È davvero "il tempo che diventa spazio", quando comprendiamo quest'ultimo nello spirito della nuova geometria. Nel suo divenire e nel suo passare, lo Spazio riceve qui i ritmi del Tempo e del Numero da un mondo puramente spirituale. In questo modo la vita cosmica inizia a essere rivelata, e dal lato della pura Geometria si apre anche la via a quella spiritualizzazione di tutta la conoscenza spaziale che lo Spirito della nostra epoca chiama.

Note e riferimenti

1 George Adams (che cambiò il suo nome da George Adams Kaufmann nel 1940) scrisse la sua principale opera geometrica in tedesco: Strahlende Weltgestaltung: Synthetische Geometrie in geisteswissenschaftlicher Beleuchtung, pubblicata nel 1934 dalla Sezione matematica del Goetheanum, Dornach, Svizzera. Nel 1960 apparve un'altra opera principale: Die PJianze in Raum und Gegenraum: El entente einer netien Morphologie, di George Adams e Olive Whicher, pubblicata da Verlag Freies Geistesleben, Stoccarda. Nel primo lavoro George Adams esponeva i fondamenti della Geometria Moderna con molte illustrazioni in una forma ampiamente accessibile, mettendola in relazione con la storia della cultura in generale e specialmente con gli insegnamenti della Scienza Spirituale impartiti da Rudolf Steiner. Nel lavoro successivo la teoria degli spazi fisici ed eterei viene applicata soprattutto ai fenomeni della forma vegetale. Qui, le idee guida della Metamorfosi delle piante di Goethe vengono interpretate e sviluppate in una nuova direzione, con l'aiuto di metodi scientifici non ancora disponibili ai tempi di Goethe.

Negli anni tra questi due lavori, oltre a numerosi articoli e saggi, arrivarono le due opere inglesi di cui Die PJianze in Raum und Gegenraum è un ulteriore sviluppo: The Living Plant, 1949 e The Plant between Sun and Earth, 1952, entrambi pubblicati dalla Goethean Science Foundation, Clent, Worcestershire.

I riferimenti al libro tedesco, Die PJianze in Raum und Gegenraum, sono inclusi qui perché questo lavoro è molto più sostanziale dei due libri inglesi. Si spera a tempo debito di pubblicare una traduzione in inglese.

2 Rudolf Steiner: Universe, Earth and Man (The Rudolf Steiner Publishing Co., London), un corso di conferenze tenutosi a Stoccarda nel 1908.

3 Sull'origine della Geometria negli antichi Misteri, vedi le lezioni di Rudolf Steiner, Flashlights on the deeper Impulses of History. Vedi anche il libro di Ernst Bindel: Die aegyptischen Pyramiden als Zeugen vergangener Mysterienweisheit, Verlag Freies Geistesleben, Stoccarda, 1957.

4 Secondo corso di Rudolf Steiner sulla scienza, Lezione 14 (Dornach, 14 marzo 1920).

5 Ciò è stato fatto nel lavoro sugli impianti e in altri campi. Vedi anche La triplice struttura del mondo, nella lama d'oro del 1953 (Rudolf Steiner Press, Londra).

6 Die Pflanxe in Raum und Gegenraum, capitoli II e III, in particolare §46; The Plant between Sun and Earth, §24; Spazio e controspazio: George Adams, MA, in The Faithful Thinker, Centenary Essays on the Work and Thought of Rudolf Steiner (Hodder e Stoughton, Londra, 1961).

7 Rudolf Steiner: Occult Science, an Outline (Rudolf Steiner Press, Londra, 1963), pagine 115-129.

8 Rudolf Steiner: Occult Science, pagina 141.

9 È senza dubbio possibile parlare di una "sfera (o cerchio) di dimensioni infinite", poiché in tal modo suggeriamo la continua crescita di una sfera o cerchio oltre tutti i limiti finiti. Il punto è che quando una sfera si espande nell'infinito, alla fine si fonde nel piano infinitamente distante. Quando il raggio è infinito, non è più una sfera in senso stretto; è un aereo. Come diventa un punto quando si contrae senza limiti, così la sfera diventa un piano quando si espande. Vedi anche George Adams Kaufmann: Space and the Light of the Creation, pagine 31, 32, pubblicato dall'autore, Londra, 1933.

10 I lettori che hanno familiarità con la geometria analitica riconosceranno che questo è esattamente ciò che accade quando passiamo da "coordinate punti" a "coordinate piane". Quando scriviamo l '"equazione di un piano" (in coordinate di punti, ad esempio nei familiari cartesiani) stiamo immaginando il piano, non come un tutto, ma come la somma totale di infiniti punti, vale a dire tutti i punti che soddisfare l'equazione. D'altra parte, quando scriviamo il punto in coordinate piane, stiamo di fatto considerando il punto, non come un'entità indivisibile, ma come composta da infiniti piani. L'idea delle coordinate piane, scoperta da Pliicker e altri nel diciannovesimo secolo, è stato reso possibile solo dallo spirito della moderna geometria sintetica.

11 Rudolf Steiner: Primo corso di scienze (23 dicembre 1919-3 gennaio 1920), lezione VI.

12 Si veda Louis Locher-Ernst: Raum und Gegenraum (Dornach, 1957), n. 4, pagina 24. (Fare riferimento anche alla nota 16.)

13 Rudolf Steiner: The Michael Mystery, le lettere del gennaio 1925 e del Natale 1924; Qual è la Terra in realtà nel Macrocosmo? e Il mistero del Logos. (Anthroposophical Publishing Co., London, I 95 6 -)

14 Vedi una conferenza di Rudolf Steiner (17 dicembre 1922) sulla spiritualizzazione della conoscenza dello spazio in Man and the World of Stars. (Anthroposophic Press Inc., New York, 1963.) 15 Gerbert Grohmann: Die Pflanxe e Die Pflanxe als Lichtsinnesorgan der Erde, Verlag Freies Geistesleben, Stoccarda, 1962.

16 Il funzionamento delle "forze cosmiche" è stato trattato in particolare dal Dr. G. Wachsmuth nel suo libro Etheric Formative Forces in Universe, Earth and Man (Anthroposophical Publishing Co., 1932) e in altri lavori. Negli ultimi anni queste forze sono state investigate e confermate in molteplici direzioni da sperimentatori antroposofici. In questo saggio si tenta, seguendo alcune indicazioni fornite da Rudolf Steiner, di sviluppare concezioni matematiche corrispondenti alla natura di tali forze, e in particolare - come primo passo in questa direzione - la concezione di un contro-spazio o periferica spazio.

Altri lavori di George Adams, che mirano a sviluppare in questo senso i concetti fondamentali della fisica e della chimica fisica, sono apparsi nel Korrespondenz del Mathematisch-Physikalischen Institut, Dornach, Svizzera, guidato dal Dr. Georg Unger. Vedi George Adams: Universalkrafte in der Mechanik e anche opere di G. Balaster, M. Martin e G. Unger.

In modo abbastanza indipendente, Louis Locher-Ernst sviluppò le basi matematiche per uno "spazio negativo" o "Gegenraum" formato perifericamente (lo chiamò "spazio polare-euclideo"). Vedi Louis Locher-Ernst: Projektive Geometrie und die Grund / agen der Euklidischen und Polar - euklidischen Geometrie "(Zurigo, 1940). Z ur matematischen Erfassung des Gegenraum s \ Mathematisch-Astronomische Blatter, Heft 3, Dornach, 1941. Raum und Gegenraum, Einfuhrung in die neuere Geometrie, pubblicato per Mathematisch-Astronomische Sektion, Goetheanum, Dornach, 1957.

17 Un passo molto importante nel pensiero metamorfico fu raggiunto nella nuova algebra (la cosiddetta teoria degli invarianti) a metà del diciannovesimo secolo da Cayley, Sylvester e altri (vedi Strahlende Weltgestaltung).

18 Cfr. Strahlende Weltgestaltung e Die Pflange in Raum und Gegenraum (vedi nota 1).

19 Un'edizione inglese della Metamorphosis of Plants con introduzione di Agnes Arber è stata pubblicata da Chronica Botanica Co., Waltham, Mass. (H. K. Lewis and Co., London), 1946.

20 Die PJlanxe in Raum und Gegenraum, Capitolo II; The Plant between Sun and Earth, §13; The Living Plant, Capitolo III; Lo spazio e la luce della creazione.

21 Die Pflanze in Raum und Gtgenraum, capitolo III; The Plant between Sun and Earth, §§ 14, 15; The Living Plant, §§ 27, 28.

22 Goetheanum Weekly (1933), nn. Da 4 a 6.

23 Cfr. Lezioni di Felix Klein sulla geometria non euclidea (Berlino, 1928), pagine 182, 183, 189.

In un breve articolo pubblicato nel 1910 (Atti della Edinburgh Mathematical Society, Yol. 28), il professor D. M. Y. Sommerville enumera non meno di ventisette geometrie concepibili dello spazio tridimensionale. Tra loro ci sono le geometrie euclidee e le due ben note geometrie non euclidee. Uno degli altri ventiquattro è la geometria dell '"antispazio" qui intesa. Da qualche parte nella letteratura matematica potrebbero esserci ulteriori sviluppi in questa direzione; Non li ho trovati. L'interesse si è generalmente concentrato su quegli spazi che sono più vicini alle condizioni dell'immaginazione fisica; oppure, in alternativa, è stata elaborata la geometria degli spazi astratti di qualsiasi numero di dimensioni, del tutto senza riferimento all'immaginazione o alle forme della natura. Il documento a cui si fa riferimento è anche principalmente nella forma analitica.

24 W. K. Clifford, l'eminente matematico inglese, cercò rifugio da questa dolorosa difficoltà nell'ipotesi che lo spazio cosmico non fosse affatto euclideo, ma curvo, cioè non euclideo. Perché nell'unico tipo di geometria non euclidea (nel cosiddetto "spazio ellittico") la pura polarità rimane inalterata. "Su questa supposizione di una curvatura positiva", dice Clifford (Lectures and Essays, Vol. I, pagina 322), "l'intera geometria è molto più completa e interessante; il principio di dualità, invece di spezzarsi a metà su relazioni metriche, si applica a tutte le proposizioni senza eccezioni. In effetti, non mi dispiace confessare che personalmente ho spesso trovato sollievo dalle tetre infinità dello spazio omaloide nella consolante speranza che, dopotutto, quest'altro possa essere il vero stato delle cose ". (Gli "squallidi infiniti", ovviamente, si trasformano in un aspetto completamente diverso quando si riconosce la realtà dell'etereo. Ciò non era possibile ai tempi di Clifford.)

25 Vedi la lettera di Rudolf Steiner: The Michael Mystery, lettera XXIY.

26 Die Pflanze in Raum und Gegenraum, capitoli II e III, in particolare §§23, 24, 25, 37, 38. Vedi anche i due libri in inglese (Nota 1). 27 Vedi Strahlende Weltgestaltung, in particolare capitolo VII, e Die Pflanze in Raum und Gegenraum, §

27. Vedi anche nota 13.

28 Rudolf Steiner: Sentieri veri e falsi nell'indagine spirituale (Anthrososophical Publishing Co., 1926), Capitolo III. Vedi anche Spazio e luce della creazione, Figure 10 e 19.

29 Die Pfanze in Raum und Gegenraum, §§ 38-40. The Plant between Sun and Earth, §§ 23, 27, 28; The Living Plant, § 35.

30 Rudolf Steiner, nella lezione III del terzo corso di scienze, (Jan. ist-i 8th, 1921 -)

Un aspetto di questa domanda è trattato da Louis Locher-Ernst in Goetheanum, 18 ottobre 1953: "Was sagen uns Keplers Gesetze fur die Welt der Bilde'krafte?"

31 Die Pfanze in Raum und Gegenraum, § 57; The Plant between Sun and Earth, § 28; The Living Plant, §§ 10, 28, 39.

32 Die Pfanze in Raum und Gegenraum, §§ 59, 60; The Plant between Sun and Earth, §§ 29, 31; The Living Plant, §§ 46, 47.

33 Die Pfanze in Raum und Gegenraum, §§ 33-36; The Plant between Sun and Earth, §§4, 5, Nota 9; La pianta vivente; Spazio e luce della creazione, capitolo II.

34 Cfr. La lettera di Rudolf Steiner in The Michael Mystery, n. XXIV. Vedi anche gli articoli di Olive Whicher su "Human Movement" in Gymnastic Education, di Bothmer (pubblicato dal Goetheanum, Dornach) e su Golden Blade, 1960 e 1962 (Rudolf Steiner Press, Londra).

35 Pubblicato in traduzione in The Golden Blade, 1961.

36 Die Pfanze in Raum und Gegenraum, §§ 38, 43; The Plant between Sun and Earth, § 10; The Living Plant, §§ 5, 24, 42, 45.

37 La natura eterea della luce è ancora imperfettamente compresa. Non è un caso che la parola "luce" o "leggerezza" abbia il suo significato apparentemente doppio. La saggezza del linguaggio è qui prima della nostra comprensione fisica. Goethe era più consapevole della vera polarità di "Luce e tenebre", a cui la scienza del futuro ritroverà senza dubbio la via del ritorno.

Nel suo libro Man and Matter (Faber & Faber, 1951), Ernst Lehrs scrive di "leggerezza" o "leggerezza" come il polo opposto della gravità e di Spazio e Controspazio. Appaiono qui le espressioni appropriate da lui coniate di "punto che tutto relaziona" e "piano che tutto abbraccia". (Capitolo XII, pagina 215.)

38 Farbenlehre (II) di Rudolf Steiner. Traduzione inglese: Color (Rudolf Steiner Publishing Co., 1935).

39 Secondo Corso di Scienze (I-14 marzo 1920), lezione VII.

40 Die Pfanze in Raum und Gegenraum, capitolo VII; The Plant between Sun and Earth, §§ 9-12; La pianta vivente, Capitolo VII.

41 Se come elemento del volume fisico prendiamo il contenuto di una sfera infinitesimale attorno al punto in questione, come spesso si fa nelle considerazioni matematiche, l'idea corrispondente nello spazio eterico sarebbe il "volume eterico" di un iperboloide estremamente appiattito di rotazione, avvolgendo l'aereo su entrambi i lati. (Il punto cosmico è su un fuoco.) Se d'altra parte un cubo è preso come l'elemento fisico dello spazio, la cosa corrispondente in etere-sp & ce sarebbe una specie di ottaedro. Fisicamente parlando, gli elementi eterei del volume si compenetrano; confrontare quanto è stato detto a pagina 22.

42 Questa ben nota trasformazione ha un impatto importante sulla relazione tra la geometria eterea e il fisico. Profondamente correlato all'idea archetipica di spazio ("interno ed esterno" e il loro mutuo riflesso), si verifica spesso e da diversi punti di vista negli scritti matematici antroposofici. Tuttavia la sua connessione con le idee che stiamo qui esponendo non è così ampia come potrebbe sembrare dall'esempio molto semplificato che abbiamo scelto. La nozione di "punto cosmico" e del conseguente "spazio negativo" è essenzialmente nuova. (La trasformazione reciproca qualitativa e polare - punti in piani, piani in punti - che è stata descritta a pagina 42 e alla quale ci riferiamo anche ora, non deve essere confusa con la più frequentemente descritta "inversione", che cambia solo i punti interni in punti esterni e viceversa. Entrambi sono importanti, ma è il primo che ci aiuterà maggiormente nella transizione del pensiero dagli spazi fisici a quelli eterei. È infatti il ​​più elementare dei due; tuttavia richiede un'attività più forte nel pensiero qualitativo .)

43 Secondo Corso di Scienze, lezione IV; Die PJlanz.e in Raum und Gegen-raum, § 48; La pianta tra Sole e Terra, § 23.

44 Gli effetti di diluizioni altamente potenziate o "entità più piccole" sono stati abbondantemente testati e dimostrati in una grande varietà di fenomeni naturali da L. Kolisko e molti altri.

46 Cfr. Theodor Schwenk: Uber einige feinere Vorgange bei der Herstellung fliissigpoten'Lierter Heilmittel (Weleda-Verlag Arlesheim, Svizzera); e George Adams; "Potenziamento e forze periferiche della natura" in The British Homoeopathic Journal, vol. L, n. 4, ottobre 1961.

Si rimanda il lettore per ulteriori dati matematici e scientifici alle molto estese Note e Riferimenti in Die Pflanxe in Raum und Gegen-raum e The Plant between Sun and Earth. Buoni libri di testo elementari sulla Geometria Proiettiva da raccomandare sono quelli di Cremona, L. N. G. Filon e J. L. S. Hatton. Sfortunatamente, la maggior parte delle opere più facili ricadono ancora su concezioni metriche euclidee, invece di derivarle da nozioni puramente proiettive; per la transizione allo spazio etereo è ovviamente essenziale la comprensione di quest'ultimo processo. Di grande valore sono: Veblen e Young, Projective Geometry, Vols. I e II, Boston, 1910-18; D. M. Y. Sommerville, Geometria analitica delle tre dimensioni, Cambridge, 1934; anche le varie lezioni-corsi di Felix Klein (Springer, Berlino, 1924-28), edizioni in inglese di alcune delle quali sono state successivamente pubblicate negli Stati Uniti.

Riconoscimento: la microscopica riproduzione da camera-lucida (punto di crescita di Euphorbia Wulfenni in sezione trasversale) nella Figura 14 è inclusa per gentile concessione del defunto Dr. A. H. Church, Oxford.

Franco Malgarini
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